A sobredispersão, isto é, a variância maior que a média, é uma característica de dados de contagem que não se adequam bem à distribuição de Poisson. Suponha que os números de gols marcados por um jogador de futebol em dez temporadas tenham sido: 3, 2, 8, 3, 12, 11, 17, 11, 15, 14. A variância desse conjunto de dados é 19,34. Sobre a razão R entre a variância observada e a variância esperada sob o modelo Poisson, é correto afirmar que:
- A)R > 2, indicando sobredispersão;
Certa, porque R = 19,34/9,6 ≈ 2,02, isto é, maior que 2, o que indica sobredispersão.
- B)R > 1/2, sem indicação de sobredispersão;
Errada, porque embora R seja maior que 1/2, isso não exclui sobredispersão; o ponto importante é que a variância ficou muito acima da média.
- C)R < 1/2, indicando sobredispersão;
Errada, porque R não é menor que 1/2 e, além disso, sobredispersão ocorre quando a variância supera a média, não o contrário.
- D)R > 2, sem indicação de sobredispersão;
Errada, porque R até é maior que 2, mas isso indica sobredispersão, e não ausência dela.
- E)R < 1/2, sem indicação de sobredispersão.
Errada, porque R não é menor que 1/2 e esse valor também não combinaria com sobredispersão.
Gabarito: A
Em modelos de contagem, a distribuição de Poisson tem uma regra bem famosa: a variância esperada é igual à média. Então, quando os dados mostram variância maior que a média, aparece a chamada sobredispersão, que é um sinal de que Poisson não está encaixando bem. Parece detalhe, mas em Estatística esse detalhe entrega a resposta rapidinho. Aqui, a média dos gols em 10 temporadas é 9,6 e a variância observada foi 19,34. Se o modelo fosse Poisson, a variância esperada seria 9,6. Logo, a razão R entre variância observada e variância esperada é 19,34 / 9,6, o que dá aproximadamente 2,02. Como R é maior que 2, a variabilidade observada está bem acima do que o modelo Poisson previa. Isso indica sobredispersão, exatamente o que o enunciado descreve. Em linguagem de prova: Poisson gosta de dados mais “comportados”; quando a dispersão cresce demais, ela começa a reclamar. Por isso, o gabarito é a alternativa A. A conta é curta, mas a ideia central é a relação média = variância na Poisson, e a quebra dessa igualdade aponta sobredispersão.