Suponha que um determinado evento ocorra segundo um processo de Poisson com uma taxa de λ eventos por unidade de tempo. Defina X como o número de eventos ocorridos em um intervalo de tempo [0,t], ou seja, X segue a distribuição de Poisson com parâmetro (λt), de modo que: Prob(X = x) = e-λt (λt)x / x! Logo, a Prob(X ≥ x) significa que ocorreram, pelo menos, x eventos entre [0,t]. Seja T o instante em que ocorre o segundo evento, a função de densidade de probabilidade de T, para t ≥ 0, é:
- A)f(t) = λe −λt;
Errada, porque λe^{-λt} é a densidade do tempo até o primeiro evento, não até o segundo.
- B)f(t) = λte −λt;
Errada, pois a presença de t isolado não fecha a forma correta da distribuição do segundo evento.
- C)f(t) = λ2e −λt;
Errada, porque falta o fator t e o expoente em λ também não corresponde ao caso do segundo evento.
- D)f(t) = λ2 te −λt;
Certa, pois o tempo até o segundo evento em um processo de Poisson tem densidade Erlang com k = 2: f(t) = λ^2 t e^{-λt}, para t >= 0.
- E)f(t) = (λt) 2e −λt.
Errada, porque (λt)^2 e^{-λt} não está normalizada corretamente e não representa a densidade do segundo evento.
Gabarito: D
Em um processo de Poisson com taxa λ, o número de eventos em um intervalo segue Poisson, mas o tempo de espera até certo evento segue outra distribuição. Para o primeiro evento, a densidade é exponencial: f(t) = λe^{-λt}. Quando você pede o instante em que ocorre o segundo evento, entra a lógica da soma de dois tempos de espera exponenciais independentes, o que leva à distribuição Erlang, caso particular da gama com parâmetro de forma 2. Intuitivamente, para o segundo evento acontecer em t, precisa ocorrer exatamente um evento antes de t e mais um evento no pequeno intervalo final. Essa construção produz uma densidade proporcional a t, porque quanto maior o tempo, maior a chance de o segundo evento já ter ocorrido, mas ainda com o decaimento exponencial típico do processo. A fórmula geral do tempo até o k-ésimo evento em um processo de Poisson é a distribuição gama/Erlang: f(t) = (λ^k t^{k-1} e^{-λt})/(k-1)!, para t >= 0. Aqui, k = 2, então fica f(t) = λ^2 t e^{-λt}. É exatamente isso que aparece na alternativa D. Em provas da FGV, vale guardar essa dupla sem drama: evento contado -> Poisson; tempo de espera -> exponencial/gama. Quando a questão fala em primeiro, segundo, terceiro evento, você já pode acionar o modo Erlang sem susto.