Avalie se as seguintes afirmativas acerca do coeficiente de correlação linear ⍴ entre duas variáveis aleatórias contínuas estão corretas. I. O módulo de ρ é sempre menor ou igual a 1. II. Se ρ = 0, as duas variáveis são independentes. III. Valores de ρ próximos de + 1 indicam uma correlação positiva forte. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
Esta alternativa sustenta que apenas a afirmativa I está correta. De fato, o coeficiente de correlação linear de Pearson satisfaz |ρ| ≤ 1, por consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada a Cov(X,Y)/(σXσY). O problema é que a afirmativa III também está correta, pois valores de ρ próximos de +1 indicam associação linear positiva forte, então a opção fica incompleta.
- B)II, apenas.
Aqui se afirma que somente a afirmativa II está correta. O erro é que ρ = 0 não significa independência: isso apenas indica ausência de correlação linear, mas pode existir dependência não linear, como em relações do tipo Y = X². Em variáveis contínuas, independência implica correlação zero, mas o recíproco não vale em geral.
- C)I e II, apenas.
Esta opção combina as afirmativas I e II. A I está certa porque o coeficiente de correlação linear sempre fica entre -1 e 1, mas a II é falsa, já que correlação nula não autoriza concluir independência. Como a alternativa inclui uma afirmação errada, ela não pode ser aceita.
- D)I e III, apenas.
A alternativa diz que estão corretas apenas as afirmativas I e III. Isso está certo porque a I é verdadeira, já que o coeficiente de correlação linear é sempre limitado ao intervalo [-1, 1], e a III também é verdadeira, pois valores próximos de +1 representam forte correlação linear positiva. A II é a única falsa, porque correlação zero não é sinônimo de independência.
- E)II e III, apenas.
Esta opção reúne as afirmativas II e III. Embora a III esteja correta ao associar ρ próximo de +1 a forte correlação linear positiva, a II é falsa, pois correlação nula não implica independência entre as variáveis. Além disso, a alternativa ainda deixa de fora a afirmativa I, que também é verdadeira.
Gabarito: D
O coeficiente de correlação linear (rho) mede a forca e a direcao da relacao linear entre duas variaveis aleatorias. Ele sempre fica entre -1 e 1, entao o modulo de rho nunca passa de 1. Isso torna a afirmativa I correta por definicao do proprio coeficiente. Em termos praticos, quanto mais perto de +1, mais forte e positiva e a relacao linear; quanto mais perto de -1, mais forte e negativa. Logo, a afirmativa III tambem esta correta. A grande armadilha esta na afirmativa II: rho igual a 0 significa ausencia de correlacao linear, nao independencia. Duas variaveis podem ter dependencia bem real e, ainda assim, apresentar correlacao zero, especialmente quando a relacao nao e linear. Independencia e um conceito mais forte, e ela implica correlacao zero, mas a recíproca nao vale. Portanto, o gabarito D esta correto porque apenas I e III sao verdadeiras. Esse ponto e classico em Estatistica e aparece muito em provas: a banca adora trocar "sem correlacao" por "independente" como se fosse a mesma coisa, mas nao e.