A distribuição do comprimento de pranchas de surfe fabricadas por um artesão segue uma distribuição uniforme em [t-1/2, t+1/2], com t > 0. Suponha que uma amostra aleatória de 12 pranchas é medida, e a média amostral, X_b, é calculada. Nesse caso:
- A)a esperança de X_b é t e Pr (X_b < t - 1/6) é aproximadamente 95%;
Errada: a esperança da média amostral é t, mas a probabilidade indicada está invertida, pois t - 1/6 fica 2 desvios-padrão abaixo da média e corresponde a cerca de 2,5%, não 95%.
- B)a esperança de X_b é t/2 e Pr (X_b > t + 1/6) é aproximadamente 95%;
Errada: a esperança não é t/2, e o evento à direita de t + 1/6 também não tem probabilidade de 95%, mas sim algo perto de 2,5%.
- C)a esperança de X_b é t/2 e Pr (X_b <= t - 1/6) é aproximadamente 97%;
Errada: a esperança continua sendo t, e a cauda à esquerda de t - 1/6 não vale 97%, mas aproximadamente 2,5%.
- D)a esperança de X_b é t/4 e Pr (X_b > t + 1/6) é aproximadamente 2,5%;
Errada: a esperança da média não é t/4, e a cauda à direita de t + 1/6 não é 2,5% por acaso, porque o primeiro dado da alternativa já falha.
- E)a esperança de X_b é t e Pr (X_b <= t - 1/6) é aproximadamente 2,5%.
Certa: E(Xb) = t e, como t - 1/6 equivale a Z = -2, a probabilidade Pr(Xb <= t - 1/6) é aproximadamente 2,5%.
Gabarito: E
Quando a variável tem distribuição uniforme em [t-1/2, t+1/2], ela fica “centrada” em t. Por isso, a esperança de uma observação individual já é t. E, como a média amostral herda essa mesma esperança, temos E(Xb) = t. Simples assim: a média não puxa o centro para a esquerda nem para a direita, ela continua apontando para o meio do intervalo. Agora vem a parte boa: a dispersão da média amostral é menor do que a de uma observação isolada. Para Uniforme(a,b), a variância é (b-a)^2/12. Aqui, o intervalo tem comprimento 1, então Var(X) = 1/12. Como a amostra tem 12 valores independentes, Var(Xb) = (1/12)/12 = 1/144, logo o desvio-padrão da média é 1/12. Então, para calcular Pr(Xb <= t - 1/6), padronizamos: (t - 1/6 - t)/(1/12) = -2. Pela normal aproximada da média amostral, Pr(Z <= -2) é cerca de 2,5%. É exatamente o que diz a alternativa E. Em resumo: o centro é t, e a média amostral raramente cai 2 desvios-padrão abaixo desse centro. Por isso o gabarito é E. Não há fundamento legal aqui, apenas estatística clássica: esperança e variância da uniforme, mais a distribuição da média amostral.