Considere uma amostra x1, ..., xn e denote sx2 a variância dessa amostra. Considere a amostra modificada y1, ..., yn = (x1+c, …, xn+c), sendo c uma constante diferente de zero e denote sy2 a variância dessa amostra modificada. Considere outra amostra modificada z1, ..., zn = (kx1, …, kxn), sendo k uma constante diferente de zero e denote sz2 a variância dessa segunda amostra modificada. Assim, sy e sz valem, respectivamente,
- A)sz+ c e ksx.
Errada, porque somar c não altera o desvio-padrão e multiplicar por k não gera apenas k s_x sem módulo.
- B)sx+|c| e ksx.
Errada, pois o desvio-padrão não soma c e o fator de escala precisa entrar em módulo.
- C)sx+ c e |k|sx.
Errada, porque somar c não muda o desvio-padrão e a multiplicação por k exige valor absoluto.
- D)sx e k2sx.
Errada, pois ao multiplicar por k a variância muda por k², mas a alternativa mistura variância com desvio-padrão.
- E)sx e |k|sx.
Certa, porque a translação por c não altera o desvio-padrão e a multiplicação por k o transforma em |k|s_x.
Gabarito: E
Aqui tem uma clássica das estatísticas descritivas: média e dispersão adoram mudar de comportamento quando você mexe na escala dos dados. Se você soma uma constante c a todos os valores, a amostra só “anda” para cima ou para baixo, mas a variabilidade não muda. Em outras palavras, adicionar a mesma quantidade a todos os elementos não altera a distância entre eles, então o desvio-padrão permanece o mesmo. Já quando você multiplica todos os valores por k, aí a dispersão cresce ou encolhe na mesma proporção do valor absoluto de k. O sinal de k não importa para o desvio-padrão, porque a medida de dispersão não pode ficar negativa. Por isso, ao multiplicar os dados por k, o desvio-padrão vira |k| vezes o desvio-padrão original. A questão traz no texto a ideia de variância, mas nas alternativas trabalha com s, que normalmente representa desvio-padrão. Então a leitura correta é: para y = x + c, temos s_y = s_x; e para z = kx, temos s_z = |k| s_x. Isso é um resultado básico de Estatística Descritiva e também aparece como propriedade das transformações lineares em regressão e correlação: transladar os dados não altera a dispersão, e escalar os dados altera a dispersão na razão do módulo do fator. Por isso o gabarito é E.