Considere eventos A, B e C. Avalie se as afirmativas a seguir, relativas à teoria das probabilidades, são falsas (F) ou verdadeiras (V). ( ) Se vale a igualdade Pr(A⋂B⋂C) = Pr(A) ⋅ Pr(B) ⋅ Pr(C), então A, B e C são mutuamente independentes. ( ) Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então Pr(A⋂B) = 1 − Pr(A) − Pr(B). ( ) Os eventos A e B são independentes se, e somente se, Pr(A|B) = Pr(B). As afirmativas são, respectivamente,
- A)V – V – V.
Errada, porque as tres afirmativas nao sao verdadeiras: a primeira e a terceira trazem criterios incorretos de independencia e a segunda erra a probabilidade da interseccao de eventos mutuamente exclusivos.
- B)V – V – F.
Errada, pois a primeira afirmativa nao e verdadeira como regra geral e a terceira tambem esta incorreta, ja que independencia exige Pr(A|B)=Pr(A), nao Pr(B).
- C)V – F – V.
Errada, porque a segunda afirmativa esta falsa: se A e B sao mutuamente exclusivos, entao Pr(A ∩ B)=0, e nao 1 - Pr(A) - Pr(B).
- D)F – V – F.
Errada, pois a segunda afirmativa e falsa e a primeira tambem nao permite concluir independencia mutua apenas pela igualdade da interseccao tripla.
- E)F – F – F.
Certa, porque as tres afirmativas estao incorretas: a primeira generaliza indevidamente a independencia mutua, a segunda erra a interseccao de eventos exclusivos e a terceira usa a condicional errada.
Gabarito: E
Em probabilidade, independencia e exclusao mutua sao duas ideias que vivem brigando: se dois eventos sao mutuamente exclusivos, eles nao podem acontecer juntos; se sao independentes, um nao interfere no outro. Parece simples, mas a banca adora trocar as formulas para ver se voce entra no modo piloto automatico. Na primeira afirmativa, nao basta ter Pr(A ∩ B ∩ C) = Pr(A)·Pr(B)·Pr(C) para concluir independencia mútua. Para isso, seria necessario verificar tambem as independencias em pares e outras intersecoes, nao apenas a interseccao tripla. Ou seja, uma igualdade isolada nao faz milagre. Na segunda, se A e B sao mutuamente exclusivos, entao A ∩ B = ∅, logo Pr(A ∩ B) = 0. A expressao 1 - Pr(A) - Pr(B) nao corresponde a isso. Ela pode ate lembrar complementar de uniao, mas aqui foi escrita no lugar errado. Na terceira, eventos A e B sao independentes se, e somente se, Pr(A|B) = Pr(A), desde que Pr(B) > 0. A banca trocou A por B na condicional, e isso muda tudo. Por isso, as tres afirmativas sao falsas, e o gabarito E esta correto.