Os gastos com combustível de uma empresa têm distribuição normal com média m e variância v. A gerente da empresa quer instituir um procedimento para detectar consumo muito acima ou abaixo do esperado. Para isso, precisa construir uma regra para detectar outliers. Isso é comumente feito estabelecendo limites L = Q1 – 1,5 * IQR e U = Q3 + 1,5 * IQR, onde Q1 e Q3 são o primeiro e terceiro quartis, respectivamente, e IQR = Q3 – Q1 é o intervalo interquartil. Valores fora do intervalo (L, U) são considerados outliers. Sabendo-se que, para a normal padrão, o quantil 25% é, aproximadamente, – 0,67, podem ser considerados outliers:
- A)valores abaixo de m – 0,67 * sqrt(v);
Errada, porque o limite inferior para outliers fica abaixo de m - 2,68 x sqrt(v), e não em m - 0,67 x sqrt(v).
- B)valores acima de m + 4 * 0,67 * sqrt(v);
Certa, pois o limite superior U resulta em m + 4 x 0,67 x sqrt(v), então valores acima disso são considerados outliers.
- C)valores acima de m – 4 * 0,67 * sqrt(v);
Errada, porque a expressão tem sinal incompatível com um limite superior, já que m - 4 x 0,67 x sqrt(v) fica abaixo da média.
- D)valores abaixo de m – 2 * 0,67 * sqrt(v);
Errada, porque esse valor está muito perto de Q1, e não do limite inferior de outlier, que exige acrescentar 1,5 vezes o IQR.
- E)valores acima de m + 2 * 0,67 * sqrt(v).
Errada, porque o limite superior correto é m + 4 x 0,67 x sqrt(v), e não m + 2 x 0,67 x sqrt(v).
Gabarito: B
A regra do boxplot para detectar outliers usa os quartis: limite inferior L = Q1 - 1,5 x IQR e limite superior U = Q3 + 1,5 x IQR, com IQR = Q3 - Q1. Em uma normal, a distribuição é simétrica, então basta achar Q1 e Q3 em torno da média m. Como o quantil de 25% da normal padrão é aproximadamente -0,67, então Q1 = m - 0,67 x sqrt(v) e Q3 = m + 0,67 x sqrt(v). Logo, IQR = 1,34 x sqrt(v). Isso já entrega o básico da conta sem drama. Agora vem o corte de outliers: U = Q3 + 1,5 x IQR = m + 0,67 x sqrt(v) + 1,5 x 1,34 x sqrt(v) = m + 2,68 x sqrt(v), que é o mesmo que m + 4 x 0,67 x sqrt(v), aproximadamente. Portanto, valores acima desse ponto podem ser considerados outliers. Em provas da FGV, o jogo costuma ser justamente esse: você traduz o quartil da normal padrão para a escala da variável e aplica a regra do 1,5 x IQR.