Quanto à transformação de variáveis aleatórias que seguem uma distribuição de probabilidade determinada, NÃO se pode garantir que:
- A)a soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Bernoulli com parâmetro p tem distribuição Binomial com parâmetros n e p;
Correta: a soma de n variáveis Bernoulli i.i.d. com parâmetro p tem distribuição Binomial(n, p).
- B)a soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Exponencial com parâmetro λ tem distribuição Exponencial com parâmetro n*λ;
Errada: a soma de exponenciais i.i.d. não é exponencial; ela segue uma distribuição Gama/Erlang.
- C)a soma de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Poisson com parâmetro λ tem distribuição Poisson com parâmetro n*λ;
Correta: a soma de n variáveis Poisson independentes e i.i.d. com parâmetro λ é Poisson(nλ).
- D)a soma dos quadrados de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Normal Padrão tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade;
Correta: a soma dos quadrados de n Normais padrão independentes tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade.
- E)a distribuição t de Student com n graus de liberdade tem distribuição Normal Padrão quando n tende a infinito.
Correta: quando n tende ao infinito, a t de Student com n graus de liberdade converge em distribuição para a Normal padrão.
Gabarito: B
Em probabilidade, algumas distribuições têm propriedades de fechamento muito úteis: ao somar variáveis independentes, a distribuição resultante continua em uma família conhecida. Isso aparece bastante em prova porque a banca gosta de testar se voce reconhece essas relações clássicas sem vacilar no nome da distribuição. A ideia central é simples: Bernoulli somada vira Binomial, Poisson somada vira Poisson com parâmetro acumulado, e o quadrado de Normais padrão somados gera Qui-quadrado. Já a t de Student, quando os graus de liberdade crescem muito, vai se aproximando da Normal padrão. São transformações conhecidas e bem padronizadas na teoria da probabilidade. O ponto de atenção está na soma de exponenciais. A soma de n variáveis Exponenciais independentes e identicamente distribuídas com parâmetro λ não continua Exponencial com parâmetro nλ. Na verdade, essa soma tem distribuição Gama (ou Erlang, quando o número de parcelas é inteiro). A Exponencial tem a propriedade de ser fechada para o mínimo, não para a soma. Por isso a alternativa B é a que não se pode garantir. Em resumo: quando a banca fala em transformação/soma de variáveis aleatórias, pense primeiro se a família é estável sob soma, porque é aí que mora a pegadinha.