O número de carros que passam por um posto de gasolina em meia hora pode ser modelado como uma variável aleatória X com distribuição Poisson de taxa w = 2. A probabilidade de X exceder a média é:
- A)1 - 5e^-2;
Correta, pois E(X)=2 e P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(0)+P(1)+P(2)\big)=1-5e^{-2}.
- B)1 + 5e^-2;
Errada, porque o sinal ficou invertido: a conta certa é 1 menos a soma das probabilidades até 2, não 1 mais.
- C)5e^-2;
Errada, pois 5e^{-2} representa P(X\le 2), e não a probabilidade de X exceder a média.
- D)1 - 5e^-0,5;
Errada, porque o expoente não é -0,5; a taxa da Poisson é 2, então o termo correto usa e^{-2}.
- E)5e^-0,5.
Errada, pois além de usar expoente incorreto, esse valor não corresponde ao evento pedido.
Gabarito: A
Na distribuição de Poisson, a média e a variância sao iguais ao parametro da distribuição. Aqui, como a taxa e w = 2, temos E(X) = 2. Então a pergunta vira: qual a probabilidade de X ser maior que 2? Como X é discreta, “exceder a média” significa contar os valores 3, 4, 5, ... em diante. O jeito mais rapido é usar o complemento: P(X > 2) = 1 - P(X \le 2). Agora aplicamos a fórmula da Poisson: P(X = k) = e^{-2} 2^k / k!. Assim, P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}. Logo, P(X > 2) = 1 - 5e^{-2}. É exatamente a alternativa A. Em prova, a FGV gosta desse atalho: identificar a média da Poisson e transformar a conta em complemento para evitar somar vários termos.