Considere uma variável aleatória populacional X com distribuição Normal (μ,σ2), cujos parâmetros são desconhecidos. Um pesquisador coletou uma amostra aleatória de 100 observações com o objetivo de testar as seguintes hipóteses: Hipótese nula: μ = 200. Hipótese alternativa: μ ≠ 200. Na amostra coletada, obteve-se uma média igual a 203 e uma variância (baseada no estimador não viesado usual) igual a 100. O pesquisador considerou o nível de significância de 5% para esse teste, e que os valores críticos correspondentes são −2,06 e 2,06. A esse respeito, assinale a afirmativa incorreta.
- A)A probabilidade de Erro do Tipo I é igual a 5%.
Certa, porque o n\u00edvel de signific\u00e2ncia \u03b1 = 5% \u00e9 a probabilidade de erro do tipo I.
- B)A estatística de teste apropriada será igual a 3.
Certa, pois a estat\u00edstica do teste \u00e9 (203 - 200)/1 = 3.
- C)A hipótese nula é rejeitada.
Certa, porque 3 est\u00e1 fora do intervalo cr\u00edtico [-2,06, 2,06], ent\u00e3o H0 deve ser rejeitada.
- D)O p-valor é maior do que 5%.
Errada, porque a estat\u00edstica observada est\u00e1 longe de H0, logo o p-valor \u00e9 pequeno e n\u00e3o maior que 5%.
- E)O Intervalo de confiança de 95% para μ é dado por [203 ± 2,06].
Certa, pois o IC de 95% usa a margem cr\u00edtica 2,06 multiplicada pelo erro-padr\u00e3o 1, resultando em [203 \u00b1 2,06].
Gabarito: D
Aqui a ideia é um teste de hipótese para a média de uma Normal com variância desconhecida, usando a estatística padronizada. Como a amostra tem n = 100, média amostral 203 e variância amostral 100, o desvio-padrão amostral é 10 e o erro-padrão da média fica 10/\u221a100 = 1. Assim, a estatística do teste é (203 - 200)/1 = 3. Como 3 fica fora da regi\u00e3o cr\u00edtica entre -2,06 e 2,06, a hip\u00f3tese nula \u00e9 rejeitada. O n\u00edvel de signific\u00e2ncia de 5% \u00e9 exatamente a probabilidade de erro do tipo I: rejeitar H0 quando ela \u00e9 verdadeira. Ent\u00e3o a alternativa A est\u00e1 correta. E, como a estat\u00edstica caiu na cauda do teste, o p-valor \u00e9 pequeno, isto \u00e9, menor que 5%, n\u00e3o maior. Por isso a letra D \u00e9 a incorreta. A ideia do p-valor \u00e9 simples: ele mede qu\u00e3o improv\u00e1vel seria observar um resultado t\u00e3o extremo quanto o da amostra, supondo H0 verdadeira. Se o valor observado j\u00e1 est\u00e1 bem longe do centro da distribui\u00e7\u00e3o sob H0, o p-valor despenca. Aqui, com estat\u00edstica 3, isso acontece com folga. J\u00e1 o intervalo de confian\u00e7a de 95% para \u03bc segue a mesma l\u00f3gica do teste bilateral: 203 \u00b1 2,06 vezes o erro-padr\u00e3o. Como o erro-padr\u00e3o vale 1, o intervalo fica [203 \u00b1 2,06]. Em prova, a FGV gosta de trocar a roupa da mesma ideia: teste bilateral de um lado, intervalo de confian\u00e7a do outro.