Uma partícula está situada na origem de uma reta vertical e se move aos saltos ao longo dessa reta, segundo a seguinte regra probabilística: se ela está a uma distância d da origem, ela tem probabilidade igual a 1/(d+1) de saltar uma unidade para cima, e tem probabilidade igual a d/(d+1) de saltar uma unidade para baixo. Seja X3 a posição da partícula após três saltos e seja E(X3) a sua média. O valor de E(X3) é igual a:
- A)2;
Errada, porque 2 não é a média ponderada das posições possíveis após três saltos.
- B)1;
Errada, porque a expectativa não fica em 1, já que há probabilidade de a partícula chegar à posição 3.
- C)2/3;
Errada, porque 2/3 subestima o valor esperado, ignorando a contribuição do estado 3.
- D)5/4;
Errada, porque 5/4 não corresponde à distribuição obtida após o terceiro salto.
- E)4/3.
Certa, pois a distribuição em X3 leva a E(X3)=3*(1/6)+1*(5/6)=4/3.
Gabarito: E
Aqui a ideia é bem de caminhada aleatória: a posição da partícula depende de onde ela está no momento, e não de um destino fixo. O detalhe importante é que a probabilidade de subir ou descer muda com a distância da origem. Quando ela está na origem, a distância é 0, então a chance de subir é 1/(0+1) = 1. Ou seja, no primeiro salto ela obrigatoriamente vai para 1. No segundo salto, estando na posição 1, a chance de subir é 1/2 e a de descer é 1/2. Então, após dois saltos, ela pode estar em 2 ou em 0, cada um com probabilidade 1/2. No terceiro salto, se ela estiver em 2, sobe para 3 com probabilidade 1/3 e desce para 1 com probabilidade 2/3. Se estiver em 0, sobe para 1 com probabilidade 1. Juntando os caminhos, temos P(X3=3)=1/6 e P(X3=1)=5/6. Agora é só fazer a média: E(X3)=3*(1/6)+1*(5/6)=8/6=4/3. Por isso, o gabarito é a alternativa E. A questão parece simples, mas ela testa se voce sabe montar a árvore de probabilidades sem se perder no vai e vem da partícula.