A soma dos quadrados de n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas N(0, 1) tem distribuição
- A)N(n, 1)
Errada, porque a soma de quadrados de normais padrao nao continua normal.
- B)N(n, n2)
Errada, pois a forma da distribuicao nao é normal e a variancia indicada nao faz sentido aqui.
- C)qui-quadrado com (n – 1) graus de liberdade
Errada, porque n-1 graus de liberdade aparece em contextos de estimacao amostral, nao nesta soma direta.
- D)qui-quadrado com n graus de liberdade
Certa, pois a soma dos quadrados de n variáveis independentes N(0,1) segue qui-quadrado com n graus de liberdade.
- E)N(n, n)
Errada, já que o resultado nao é uma normal com media e variancia iguais a n.
Gabarito: D
Quando voce tem variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuicao normal padrao N(0,1), o quadrado de cada uma delas entra na familia qui-quadrado. A regra clássica é simples: se X1, X2, ..., Xn sao independentes e Xi ~ N(0,1), então X1² + X2² + ... + Xn² segue distribuicao qui-quadrado com n graus de liberdade. A intuição é que cada variável normal padrao contribui com 1 grau de liberdade para essa soma de quadrados. Como elas sao independentes, essas contribuicoes se acumulam sem “misturar” informacao. Por isso nao aparece distribuicao normal na resposta, porque estamos somando quadrados, e nao variáveis originais. Esse é um resultado basico de probabilidade e estatistica: a distribuicao qui-quadrado surge exatamente como soma de quadrados de normais padrao independentes. Em linguagem de concurso, é uma propriedade fundamental da distribuicao qui-quadrado, frequentemente usada em testes de hipotese e intervalos de confiança. Logo, o gabarito D esta correto porque a soma dos quadrados de n variáveis aleatorias iid N(0,1) tem distribuicao qui-quadrado com n graus de liberdade. Nao tem ajuste de n-1 aqui, porque nao houve estimacao de parametro nem perda de grau de liberdade no enunciado.