Acerca da distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X normalmente distribuída com média μ e variância σ2 , avalie as afirmativas a seguir. I. A variável Z = (X – μ)/σ tem distribuição normal padrão. II. Se M é a mediana de X, então M > μ. III. P[ X > μ ] = 0,5. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
A opção afirma que somente a afirmativa I está correta. De fato, ao padronizar X por Z=(X-μ)/σ, você obtém uma variável com distribuição normal padrão N(0,1), mas a opção deixa de fora a afirmativa III, que também é verdadeira, porque a normal é simétrica em torno de μ e reparte a probabilidade igualmente acima e abaixo da média.
- B)I e II, apenas.
A opção sustenta que as afirmativas I e II estão corretas. A I está correta pela padronização Z=(X-μ)/σ, que transforma X em N(0,1), mas a II erra ao dizer que a mediana M é maior que μ: em uma normal, média e mediana coincidem, então M=μ.
- C)I e III, apenas.
A opção reúne as afirmativas I e III. A I é verdadeira porque a transformação Z=(X-μ)/σ produz a normal padrão, e a III também é verdadeira, já que a distribuição normal é simétrica em torno da média, o que implica P[X>μ]=0,5.
- D)II e III, apenas.
A opção indica que as afirmativas II e III estão corretas. A III realmente procede pela simetria da normal, mas a II está errada porque a mediana não supera a média em uma normal; ao contrário, média, mediana e moda coincidem. Além disso, a afirmativa I também é verdadeira e foi excluída da combinação.
- E)I, II e III.
A opção afirma que I, II e III estão corretas. As afirmativas I e III são verdadeiras pela padronização e pela simetria da normal, mas a II é falsa: na distribuição normal, a mediana é igual à média, e não maior do que ela. Por isso, não é possível considerar todas as afirmativas como corretas.
Gabarito: C
Quando uma variável X tem distribuição normal com média μ e variância σ², ela é simétrica em torno da média. Isso significa que a média, a mediana e a moda coincidem. Em prova, essa é a pista de ouro: em distribuição normal, não existe “lado mais pesado” puxando a mediana para cima ou para baixo. A afirmativa I está correta porque a padronização Z = (X - μ)/σ transforma qualquer normal em uma normal padrão, com média 0 e desvio-padrão 1. É o famoso “tirar a média e dividir pelo desvio”, que coloca tudo na mesma régua. A afirmativa II está errada porque, na normal, a mediana não é maior que a média. Na verdade, elas são iguais. Como a distribuição é perfeitamente simétrica, a metade da área fica de cada lado de μ, então não há motivo para M ser diferente de μ. A afirmativa III também está correta, pois em uma normal simétrica vale P(X > μ) = 0,5. Como a curva é espelhada em torno da média, metade da probabilidade fica à direita e metade à esquerda. Assim, o gabarito C está certo: apenas I e III estão corretas.