Avalie as afirmativas a seguir acerca de propriedades da média amostral como estimador da média populacional µ de uma distribuição normal. I. É não tendencioso de µ. II. É estimador de máxima verossimilhança de µ. III. É uniformemente de variância mínima para µ. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
Esta alternativa sustenta que apenas a afirmativa I estaria correta, isto é, que a média amostral seria apenas um estimador não tendencioso da média populacional. De fato, ela é não tendenciosa porque E(\bar X)=\mu em uma amostra normal. O problema é que a média amostral também é o estimador de máxima verossimilhança de \mu e, no modelo normal, possui a propriedade de variância mínima entre os estimadores não tendenciosos, de modo que não se limita à afirmativa I.
- B)I e II, apenas.
Aqui se afirma que a média amostral seria não tendenciosa e também estimador de máxima verossimilhança de \mu, mas não teria a propriedade de variância mínima uniforme. As duas primeiras propriedades estão corretas: \bar X é não tendenciosa porque sua esperança é \mu, e a maximização da verossimilhança no modelo normal ocorre em \bar X. O erro está em excluir a terceira, pois no contexto da distribuição normal a média amostral é o estimador com menor variância entre os não tendenciosos para \mu.
- C)I e III, apenas.
Esta opção afirma que a média amostral seria não tendenciosa e teria variância mínima uniforme, mas não seria de máxima verossimilhança. Isso contraria o resultado clássico da distribuição normal: a função de verossimilhança em relação a \mu é maximizada exatamente em \bar X, então ele é também o estimador de máxima verossimilhança. Como as propriedades de não tendenciosidade e de variância mínima também se verificam, a exclusão da afirmativa II torna a alternativa incorreta.
- D)II e III, apenas.
A alternativa diz que a média amostral seria estimador de máxima verossimilhança e também de variância mínima uniforme, mas não seria não tendenciosa. Esse é o ponto errado, porque a esperança de \bar X é exatamente \mu, logo ele é um estimador não tendencioso da média populacional. As outras duas propriedades também são válidas no caso normal, então não há motivo para retirar a afirmativa I.
- E)I, II e III.
Esta é a combinação completa das três propriedades atribuídas à média amostral: ela é não tendenciosa, porque E(\bar X)=\mu; é estimador de máxima verossimilhança de \mu no modelo normal; e, no mesmo contexto, é o estimador com variância mínima uniforme entre os não tendenciosos para \mu. Por isso, as afirmativas I, II e III estão corretas e a alternativa está de acordo com a teoria clássica da estimação em distribuições normais.
Gabarito: E
A média amostral, em uma amostra de uma distribuição normal, é aquela velha amiga da Estatística que costuma acertar mais do que errar. Ela é não tendenciosa porque sua esperança matemática é a própria média populacional: em média, ela cai no valor certo. Isso já confirma a afirmativa I. Além disso, quando se assume normalidade e se estima o parâmetro desconhecido µ, a média amostral aparece como estimador de máxima verossimilhança. Em linguagem de prova: ela é a escolha que maximiza a probabilidade de observar os dados coletados. Portanto, a afirmativa II também está correta. E tem mais: entre os estimadores não tendenciosos de µ, a média amostral tem a menor variância, isto é, é UMVUE (estimador não tendencioso de variância mínima) no contexto normal. Em geral, isso decorre do fato de ser função suficiente e completa na família normal, resultado clássico da teoria de estimação, associado ao teorema de Lehmann-Scheffé. Resumo da ópera: I, II e III estão corretas. É por isso que o gabarito é E. A banca adora cobrar esses três rótulos juntos - não tendencioso, máxima verossimilhança e variância mínima - como se fosse um trio de peso da mesma estrela.