Considere um processo onde é observada uma variável aleatória X que tem distribuição Normal com média 4 e desvio padrão 2. Após uma modificação no processo, os valores se alteraram e a nova variável é Y = 2X + 4. É correto afirmar que Y tem distribuição Normal com:
- A)média 8 e variância 8;
Errada: a media nao fica 8, e a variancia nao e 8, porque a transformacao linear altera a media para 12 e a variancia para 16.
- B)média 12 e variância 4;
Errada: a media ate poderia parecer uma soma simples, mas a variancia foi subestimada, pois o coeficiente 2 deve ser elevado ao quadrado.
- C)média 12 e variância 8;
Errada: a media esta certa, mas a variancia nao e 8; ao multiplicar X por 2, a variancia deve ser multiplicada por 4.
- D)média 12 e variância 16;
Certa: Y continua normal, com media 2·4 + 4 = 12 e variancia 2^2·(2^2) = 16.
- E)média 12 e variância 20.
Errada: a media ate bate, mas a variancia foi inflada indevidamente, pois o valor correto vem da regra do quadrado do coeficiente angular.
Gabarito: D
Quando voce transforma uma variavel normal por uma regra linear do tipo Y = aX + b, ela continua normal. O truque aqui e lembrar duas contas basicas: a media muda para a media multiplicada por a, mais b; e a variancia fica multiplicada por a ao quadrado. Em outras palavras, a constante soma ou subtrai na media, mas nao mexe na dispersao. O fator multiplicativo, esse sim, estica ou comprime a variabilidade. No enunciado, X tem media 4 e desvio padrao 2. Como Y = 2X + 4, a media de Y fica 2 vezes 4, mais 4, o que da 12. Para a variancia, como o coeficiente de X e 2, fazemos 2^2 vezes a variancia de X. A variancia de X e 2^2 = 4, entao a variancia de Y e 4 vezes 4, isto e, 16. Logo, Y tambem tem distribuicao Normal, com media 12 e variancia 16. A alternativa correta e a D. Se voce quiser lembrar sem sofrimento: soma mexe no centro, multiplicacao mexe no espalhamento. A FGV adora cobrar exatamente essa troca de chapeu entre media e variancia.