Considere uma amostra aleatória de tamanho n obtida de uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, f(x; p) = px (1-p)1-x , x = 0 ou 1, 0 ≤ p≤ 1 . A função de verossimilhança correspondente é então
- A)L(p) = p∑xi(1 − p)n− ∑xi
Certa, pois a verossimilhanca de uma amostra Bernoulli i.i.d. e p^(∑xi)(1-p)^(n-∑xi).
- B)L(p) = pn-∑xi(1 − p)1− ∑xi
Errada, porque troca os expoentes e nao representa a contagem correta de sucessos e fracassos.
- C)L(p) = p2(1 − p)n−1∑xi
Errada, pois os expoentes nao fazem sentido para uma amostra de tamanho n e nao seguem a forma do produto Bernoulli.
- D)L(p) = pn(1 − p)n−1∑xi
Errada, porque mistura n com ∑xi de modo incompatível e nao corresponde ao produto das densidades/massas.
- E)L(p) = (1 − p)n−1∑xi/p∑xi
Errada, pois inverte a estrutura da verossimilhança e coloca p no denominador sem justificativa.
Gabarito: A
Quando voce tem uma amostra aleatoria X1, X2, ..., Xn de uma Bernoulli(p), cada observacao so pode valer 0 ou 1. A funcao de massa de probabilidade de cada Xi e f(x;p) = p^x (1-p)^(1-x). Como a amostra e independente, a verossimilhanca e o produto dessas probabilidades para todos os xi observados. Fazendo a conta, fica L(p) = ∏ p^(xi) (1-p)^(1-xi). Somando os expoentes iguais, voce obtém L(p) = p^(∑xi) (1-p)^(n-∑xi). Essa forma aparece muito em prova porque a soma dos xi representa o numero de sucessos na amostra, e n - ∑xi representa o numero de fracassos. O gabarito A esta correto exatamente por isso: ele escreve a verossimilhanca com o expoente de p igual ao total de 1s observados e o expoente de (1-p) igual ao total de 0s observados. Em estatistica inferencial, isso é o básico da construcao da verossimilhanca, um conceito padrao de livros como Casella e Berger e muito usado para estimacao por maxima verossimilhanca. A banca gosta de testar se voce lembra que verossimilhanca nao e uma probabilidade nova, mas a mesma funcao vista como funcao de p, com os dados fixos. Aqui, o truque e reconhecer que a Bernoulli simplifica tudo para contagem de sucessos e fracassos.