Uma amostra aleatória simples de tamanho 10 de uma densidade Bernoulli (p) será observada para testar H0: p ≤ 0,5 versus H1: p > 0,5 e será usado o critério que rejeita H0 se o número de “sucessos” na amostra for maior do que 7. A probabilidade de erro tipo I máxima com esse critério é aproximadamente igual a
- A)0,001.
Errada, porque 0,001 é muito pequena para a cauda binomial de X >= 8 em uma amostra de 10 com p = 0,5.
- B)0,01.
Errada, pois a probabilidade exata fica em torno de 0,0547, valor mais próximo de 0,05 do que de 0,01.
- C)0,05.
Certa, porque a probabilidade máxima de erro tipo I ocorre em p = 0,5 e vale aproximadamente 0,0547.
- D)0,1.
Errada, porque 0,1 é maior do que o valor real calculado, que está pouco acima de 0,05.
- E)0,2.
Errada, porque 0,2 está muito acima da probabilidade da cauda binomial pedida.
Gabarito: C
Aqui a ideia é bem clássica de teste de hipótese com variável Bernoulli, isto é, cada observação pode ser sucesso ou fracasso. Como a amostra tem tamanho 10, o número de sucessos segue uma Binomial(10, p). O teste rejeita H0 se o número de sucessos for maior do que 7, então a região crítica é X >= 8. Para achar a probabilidade de erro tipo I, você precisa calcular a probabilidade de rejeitar H0 quando H0 é verdadeira. Como H0 diz p = 8) quando X ~ Bin(10, 0,5). Fazendo as contas: P(X >= 8) = [C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)] / 2^10 = (45 + 10 + 1)/1024 = 56/1024, que dá aproximadamente 0,0547. Esse valor é muito perto de 0,05, então o gabarito é a alternativa C. Repare como a banca gosta desse truque: você não precisa de uma conta gigante, só identificar o ponto de maior erro tipo I e somar a cauda binomial certa.