Acerca de uma variável aleatória X com distribuição normal, com média μ e variância σ2 ,avalie as afirmativas a seguir. I. Se m é a mediana de X então m = μ II. A probabilidade de que X seja maior do que μ + 0,1σ é maior do que 0,5. III. A variável Z = (X - μ)/ σ tem distribuição normal com média 0 e variância 1. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
Esta alternativa sustenta que apenas a afirmativa I estaria correta, isto é, que na normal a mediana coincide com a média. Isso é verdadeiro, porque a distribuição normal é simétrica em torno de μ, então os pontos de equilíbrio de centro coincidem. O problema é que a afirmativa III também está correta, pois a padronização Z = (X - μ)/σ produz uma normal padrão N(0,1), de modo que a opção A deixa de refletir o conjunto completo de assertivas verdadeiras.
- B)I e II, apenas.
Aqui se afirma que as afirmativas I e II estariam corretas. A I realmente procede, pela simetria da normal, mas a II não: como μ + 0,1σ está acima da média, a probabilidade de X ser maior que esse valor é menor que 0,5, e não maior; em termos de padronização, P(X > μ + 0,1σ) = P(Z > 0,1) ≈ 0,4602. Além disso, a III também é verdadeira, o que afasta essa combinação.
- C)I e III, apenas.
Esta é a combinação correta porque reúne exatamente as afirmativas I e III. Na distribuição normal, a simetria em torno da média faz com que mediana e média coincidam, e a transformação Z = (X - μ)/σ gera uma variável com média 0 e variância 1, isto é, a normal padrão N(0,1). A afirmativa II é a única incorreta, pois um ponto acima da média não pode ter probabilidade de cauda superior a 0,5.
- D)II e III, apenas.
A alternativa propõe que apenas II e III estariam corretas, mas isso não corresponde ao conteúdo das afirmativas. A II está errada porque, sendo μ + 0,1σ maior que a média, a cauda à direita fica abaixo de 0,5; já a III é correta pela padronização da normal. Como a I também é verdadeira pela simetria da distribuição normal, a exclusão dela torna a opção incompatível com o enunciado.
- E)I, II e III.
Esta alternativa diz que as três afirmativas estariam corretas. Embora a I seja verdadeira, pela igualdade entre média e mediana na normal, a II é falsa: a probabilidade de ultrapassar μ + 0,1σ é menor do que 0,5, e não maior, porque esse valor fica à direita da média. A III também é verdadeira, mas como uma das afirmações listadas não procede, não é possível marcar todas como corretas.
Gabarito: C
A distribuição normal tem uma propriedade muito querida em provas: ela é simétrica em torno da média. Em uma curva normal, a média, a mediana e a moda coincidem no mesmo ponto central. Por isso, se m é a mediana de X, então m = μ. Essa é a ideia da afirmativa I. A afirmativa II tenta induzir você pelo “0,1σ”, mas não cai nessa. Como μ + 0,1σ fica acima da média, a área à direita desse ponto é menor do que 0,5, e não maior. Em outras palavras: quanto mais você anda para a direita do centro da normal, menor fica a probabilidade acumulada restante. Já a afirmativa III é a padronização clássica: Z = (X - μ)/σ. Ao subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão, você transforma X em uma variável com distribuição normal padrão, isto é, média 0 e variância 1. É o famoso “tirar a roupa da variável e vestir o uniforme da padronização”. Então, o gabarito C está correto porque apenas I e III são verdadeiras. A II é falsa exatamente por contrariar a simetria da normal em relação à média.