As afirmativas a seguir, acerca da análise de componentes principais (ACP) estão corretas, à exceção de uma. Assinale-a.
- A)É uma técnica estatística que transforma linearmente um conjunto original de variáveis, inicialmente correlacionadas entre si, num segundo conjunto menor de variáveis não correlacionadas.
Certa: a ACP transforma linearmente variáveis correlacionadas em um novo conjunto de variáveis não correlacionadas.
- B)Cada componente principal é uma combinação linear de todas as variáveis originais.
Certa: cada componente principal é uma combinação linear de todas as variáveis originais, com coeficientes dados pelos autovetores.
- C)Os componentes principais são estimados com o propósito de reter, em ordem de estimação, o máximo de informação, em termos da variação total contida nos dados.
Certa: os componentes são ordenados para reter o máximo de variância total possível, do maior para o menor.
- D)É particularmente recomendada quando se tem mais variáveis do que unidades amostrais.
Errada: a ACP é uma técnica de redução de dimensionalidade, mas não é especialmente recomendada simplesmente porque há mais variáveis do que unidades amostrais.
- E)Os componentes principais são obtidos por meio da diagonalização de matrizes simétricas positivas semidefinidas.
Certa: os componentes principais decorrem da diagonalização de matrizes simétricas positivas semidefinidas, como a de covariância.
Gabarito: D
A análise de componentes principais (ACP) serve para “resumir” um conjunto grande de variáveis em poucas combinações lineares, chamadas componentes principais, sem perder tanta informação. A ideia é simples: as variáveis originais costumam andar juntas, e a ACP cria eixos novos, ortogonais entre si, que capturam o máximo de variabilidade possível logo nos primeiros componentes. É como organizar um quarto bagunçado: você junta o que está espalhado em poucos caixas bem pensadas. Esses componentes são obtidos a partir da diagonalização de uma matriz simétrica positiva semidefinida, como a matriz de covariâncias ou de correlações. Por isso, faz sentido dizer que eles ficam não correlacionados e que cada um é uma combinação linear das variáveis originais. O primeiro componente explica a maior parte da variância; o segundo explica o máximo que sobrou, e assim por diante. O ponto-chave da questão está na alternativa D. A ACP é muito útil quando você tem muitas variáveis e deseja reduzir dimensionalidade, mas a frase “particularmente recomendada quando se tem mais variáveis do que unidades amostrais” não é a regra clássica cobrada pela teoria. Em geral, a técnica depende de uma base amostral suficiente para estimar com estabilidade a estrutura de covariância ou correlação. Se o número de observações é muito pequeno em relação ao número de variáveis, a análise tende a ficar instável e a interpretação piora. Então, a FGV cobra o conceito padrão: ACP transforma variáveis correlacionadas em componentes não correlacionados, preservando o máximo de variância possível nos primeiros eixos. A armadilha é trocar a ideia de redução de variáveis pela noção de que ela “resolve” automaticamente o problema de amostra pequena. Não resolve por mágica, infelizmente nem estatística faz milagre todo dia.