Uma sociedade empresária produz pacotes de café moído e torrado e afirma que os pesos dos pacotes seguem uma distribuição normal com média µ = 700g e desvio-padrão σ = 10g. A Secretaria da Fazenda recebeu uma denúncia de que há irregularidades no peso, principalmente em relação à variabilidade dos pesos em cada pacote. Em uma fiscalização, foram selecionados uma amostra aleatória simples de 10 pacotes de café para averiguar a denúncia. A probabilidade de a variância amostral, s2 , dos pesos dos 10 pacotes selecionados ser maior do que 100g2 , é de, aproximadamente
- A)1 − Prob(X ≤ 9), sendo que X tem distribuição quiquadrado com 9 graus de liberdade.
Correta: usa a distribuição qui-quadrado com 9 graus de liberdade e a cauda superior correspondente a P(X > 9) = 1 - P(X ≤ 9).
- B)Prob(X < 10), sendo que X tem distribuição qui-quadrado com 9 graus de liberdade.
Errada: até acerta o tipo de distribuição e os 9 graus de liberdade, mas troca a cauda e usa X < 10 em vez do ponto de corte correto.
- C)1 − Prob(X ≤ 9), sendo que X tem distribuição t-Student com 9 graus de liberdade.
Errada: a distribuição t-Student não é a adequada para variância amostral; ela é associada principalmente a médias quando σ é desconhecido.
- D)Prob(X ≤ 9), sendo que X tem distribuição t-Student com 9 graus de liberdade.
Errada: além de usar t-Student indevidamente, ainda toma a cauda inferior, que não corresponde ao evento pedido.
- E)Prob(X < 10), sendo que X tem distribuição t-Student com 9 graus de liberdade.
Errada: a distribuição t-Student não entra nesse problema e o ponto de corte 10 também não é o correto para a transformação da variância.
Gabarito: A
Quando a população é normal, a variância amostral tem uma relação clássica com a distribuição qui-quadrado. Se X1, ..., Xn vem de N(μ, σ²), então (n-1)s²/σ² segue uma qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Aqui, n = 10, σ = 10 e o interesse é em s² > 100, isto é, s > 10. Como σ² = 100, fica (9)s²/100 > 9, ou seja, basta olhar a cauda da qui-quadrado com 9 graus de liberdade acima de 9. Traduzindo para a linguagem da prova: P(s² > 100) = P((9)s²/100 > 9) = P(X > 9), com X ~ qui-quadrado(9). Em forma equivalente, isso é 1 - P(X ≤ 9). A banca adora esse tipo de troca de variância amostral por qui-quadrado, porque ela testa se você sabe o vínculo entre normalidade e estatística amostral. Repare que o enunciado fala de pesos com distribuição normal e pede a probabilidade sobre a variância amostral. Isso já aciona a fórmula padrão, sem precisar de aproximação por t ou por binomial. Portanto, a alternativa A está correta porque usa a distribuição qui-quadrado com 9 graus de liberdade e a cauda superior acima de 9. Em resumo: quando a amostra vem de uma normal, a variância amostral não passeia sozinha - ela anda acompanhada da qui-quadrado. E aqui o número mágico é n-1 = 9.