Considere uma variável aleatória X com função de probabilidade exponencial com parâmetro θ﹥0. Nesse caso, avalie se as seguintes afirmativas são falsas (F) ou verdadeiras (V): ( ) E[ X ] = 1/θ e Var[ X ] = 1/θ2. ( ) Se um processo Poisson está ocorrendo no tempo, então a variável aleatória que mede o tempo entre duas ocorrências sucessivas tem distribuição exponencial. ( ) A distribuição exponencial não tem memória, ou seja, se X tem distribuição exponencial, e se a e b são constantes positivas, P[ X > a + b | X > a] = P[ X > b]. As afirmativas são, respectivamente,
- A)V, F e V.
Errada, porque a primeira afirmativa é verdadeira, e não falsa.
- B)F, V e V.
Errada, porque a primeira afirmativa também é verdadeira, então a sequência não pode começar com F.
- C)F, F e F.
Errada, porque as três proposições sobre média, Poisson e falta de memória são verdadeiras.
- D)V, V e F.
Errada, porque a terceira afirmativa não é falsa; a exponencial é, sim, sem memória.
- E)V, V e V.
Certa, pois as três afirmativas estão corretas: média 1/θ, variância 1/θ², relação com Poisson e propriedade de falta de memória.
Gabarito: E
A distribuição exponencial aparece muito em questões de prova porque ela descreve o tempo de espera até um evento acontecer. Se X tem distribuição exponencial com parâmetro θ > 0, então sua média é 1/θ e sua variância é 1/θ². Essa é a dupla clássica que a banca gosta de cobrar sem dó. Outro ponto importantíssimo: em um processo de Poisson, o tempo entre duas ocorrências consecutivas segue distribuição exponencial. Ou seja, se os eventos chegam “ao acaso” em taxa constante, o tempo de espera entre eles é exponencial. É a ligação mais famosa entre Poisson e exponencial. A terceira propriedade é a famosa falta de memória. Traduzindo para português claro: o fato de você já ter esperado um tempo a não altera a probabilidade de esperar mais um tanto. Por isso, P[X > a + b | X > a] = P[X > b]. Isso é uma marca registrada da exponencial. Como as três afirmações estão corretas, a sequência é V, V e V. É exatamente por isso que o gabarito é a alternativa E.