Suponha uma amostra aleatória simples X1, X2, X3, X4 de uma variável populacional com média μ. Assinale a opção que apresenta um estimador não tendencioso μ.
- A)X1 + X2
Errada, porque E[X1 + X2] = 2μ, então o estimador superestima μ.
- B)X1 – X2 + X3 – X4
Errada, porque os coeficientes se cancelam e o valor esperado fica 0, não μ.
- C)(2X3 + 3X4) / 5
Certa, porque os pesos 2/5 e 3/5 somam 1, logo o valor esperado é μ.
- D)(2X1 + 3X2 + 2X3 + 3X4)/5
Errada, porque a soma dos pesos é 10/5 = 2, então o valor esperado é 2μ.
- E)5X4
Errada, porque E[5X4] = 5μ, ou seja, o estimador fica multiplicando a média por 5.
Gabarito: C
Quando a questão pede um estimador não tendencioso, a ideia é simples: em média, o estimador precisa acertar o valor verdadeiro do parâmetro. Ou seja, seu valor esperado deve ser igual a μ. Em amostra aleatória simples, cada Xi tem a mesma média μ, então a conta fica bem amigável: basta verificar se os pesos somam 1. Se você monta um estimador linear do tipo a1X1 + a2X2 + a3X3 + a4X4, o valor esperado dele é (a1 + a2 + a3 + a4)μ. Logo, ele só será não tendencioso se a soma dos coeficientes for 1. É aquela regra de bolso que salva tempo em prova. Na alternativa C, temos (2X3 + 3X4)/5. Os pesos são 2/5 e 3/5, e a soma deles é 1. Então, E[(2X3 + 3X4)/5] = (2/5)μ + (3/5)μ = μ. Perfeito: estimador não tendencioso. As demais alternativas falham porque os pesos não somam 1, então o estimador tende a puxar a média para cima, para baixo ou até para zero. Em estatística de concurso, quando aparece combinação linear de observações, a primeira pergunta é: os coeficientes totalizam 1? Se não, desconfie.