Se os tempos de vida X1, X2, ..., Xn de n bulbos são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas exponencial com parâmetro λ, então a soma X1 + X2 +...+ Xn desses tempos de vida tem distribuição
- A)exponencial com parâmetro nλ.
Errada: a soma de varias exponenciais independentes nao permanece exponencial, ela muda de familia distributiva.
- B)gama com parâmetros n e λ.
Certa: a soma de n variaveis exponenciais i.i.d. com taxa λ tem distribuicao gama com parametros n e λ.
- C)beta com parâmetros n e λ.
Errada: a beta nao descreve soma de tempos de vida exponenciais e nem usa esse papel de acumulacao.
- D)Cauchy com parâmetros n e λ.
Errada: a Cauchy nao tem relacao com soma de tempos de espera exponenciais nesse contexto.
- E)logística com parâmetros n e λ.
Errada: a logistica nao é a distribuicao gerada pela soma de exponenciais i.i.d.
Gabarito: B
Quando voce soma variaveis aleatorias exponenciais independentes e identicamente distribuidas, o resultado nao continua exponencial. A distribuicao exponencial serve, em geral, para modelar tempo de espera ate um evento, com uma propriedade bem conhecida de falta de memoria, mas a soma de varios desses tempos de espera muda o tipo de distribuicao. Aqui entra a distribuicao gama, que aparece justamente como a soma de n variaveis exponenciais i.i.d. com mesmo parametro de taxa λ. Intuitivamente, se um bulbo dura um tempo exponencial, a soma dos tempos de vida de varios bulbos segue um comportamento acumulado, e esse acumulado tem formato gama. Em linguagem de teoria de probabilidade, isso é um caso classico de convolucao de variaveis independentes. Por isso, se X1, X2, ..., Xn sao independentes e X_i ~ Exp(λ), entao X1 + X2 + ... + Xn ~ Gama(n, λ), na parametrizacao em que n é o parametro de forma e λ é a taxa. Em concursos, a banca costuma cobrar exatamente essa memoria: soma de exponenciais i.i.d. resulta em gama, enquanto uma unica exponencial nao vira outra exponencial ao somar n termos. Logo, o gabarito B esta correto. A resposta usa um resultado padrao de probabilidade, sem depender de lei especial, mas de uma propriedade classica da distribuicao gama como soma de exponenciais.