Avalie as seguintes afirmativas acerca de uma variável aleatória X com distribuição exponencial de probabilidades com parâmetro λ > 0. I. Se λ > 1, então E[ X ] > Var[ X ]. II. P[ X > a + b | X > a ] = P[ X > b ], a > 0, b > 0. III. A função de densidade de probabilidade de X é simétrica em torno de sua média. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
A alternativa afirma que somente a proposição I está correta, isto é, que para X ~ Exp(λ), quando λ > 1, a média 1/λ supera a variância 1/λ². Essa conta realmente funciona, mas a opção fica incompleta porque a exponencial também tem a propriedade da ausência de memória, então a afirmação II também é verdadeira. Como não se limita a I, ela não descreve o conjunto correto de assertivas válidas.
- B)I e II, apenas.
A alternativa reúne I e II, que são as duas afirmações verdadeiras. Na exponencial, E[X] = 1/λ e Var[X] = 1/λ², então para λ > 1 vale 1/λ > 1/λ²; além disso, a lei sem memória dá P(X > a + b | X > a) = P(X > b). Como a III erra ao supor simetria em torno da média, apenas I e II formam o conjunto correto.
- C)I e III, apenas.
Aqui se sustenta que I e III estão corretas. A primeira está certa pela comparação entre 1/λ e 1/λ² quando λ > 1, mas a terceira contraria a forma da densidade exponencial f(x) = λe^{-λx} em x ≥ 0, que é assimétrica e concentrada à direita. A ausência de simetria em torno da média derruba essa alternativa.
- D)II e III, apenas.
A opção diz que II e III são verdadeiras. A II procede pela propriedade de ausência de memória da exponencial, mas a III não procede, porque a densidade exponencial não é espelhada em torno da média e é tipicamente assimétrica à direita. Assim, a reunião dessas duas afirmativas não pode ser aceita.
- E)I, II e III.
Esta alternativa afirma que as três proposições seriam verdadeiras. Isso não se sustenta, porque a III contradiz a distribuição exponencial: sua densidade existe apenas para x ≥ 0 e decai monotonicamente, o que impede simetria em torno da média. Como I e II são verdadeiras, mas III não, o conjunto completo proposto aqui extrapola o que a teoria permite.
Gabarito: B
A distribuição exponencial aparece muito quando voce estuda tempo de espera, como o tempo até um evento ocorrer. Ela é governada por um único parâmetro, λ > 0, e tem duas fórmulas que caem direto em prova: E[X] = 1/λ e Var[X] = 1/λ². Então, se λ > 1, temos 1/λ > 1/λ², ou seja, a média fica maior que a variância. A afirmativa I está correta. A afirmativa II traz a famosa propriedade de falta de memória, que é a marca registrada da exponencial: o que já passou não altera o que ainda falta. Em linguagem de prova, P[X > a + b | X > a] = P[X > b]. Isso é exatamente o comportamento sem memória, então a II também está correta. Já a III está errada. A densidade da exponencial é assimétrica, concentrada à esquerda e com cauda longa à direita. Ela não é simétrica em torno da média nem de outro ponto central. Em resumo: a banca quer que voce reconheça a média e a variância da exponencial, mais a propriedade de falta de memória, e descarte a falsa ideia de simetria. Por isso, o gabarito é B, apenas I e II.