Certo conjunto de dados contém 10000 observações, em que cada observação possui 10 variáveis. A análise de componentes principais (PCA) sobre estes dados apontou que a primeira componente principal é dada pelo vetor w. A esse respeito, assinale a afirmativa correta.
- A)A variância dos dados é a mesma nas direções dadas por w ou pelas demais componentes principais.
Errada: na PCA as variâncias nas direções das componentes principais não são iguais, pois elas são ordenadas da maior para a menor.
- B)A variância dos dados é a menor na direção de w e aumenta na direção das demais componentes principais.
Errada: a primeira componente principal não tem a menor variância, mas sim a maior entre todas as direções possíveis.
- C)A variância ao longo da direção dada por w é igual a 1.
Errada: o fato de w ser um vetor da componente principal não implica variância igual a 1 nessa direção; isso depende da escala dos dados.
- D)A variância ao longo da direção dada por w é menor do que 1.
Errada: a variância na direção de w não precisa ser menor do que 1, porque a PCA não fixa esse valor.
- E)A variância dos dados é máxima na direção dada por w.
Certa: a primeira componente principal é, por definição, a direção em que a projeção dos dados apresenta variância máxima.
Gabarito: E
Na PCA, você pega os dados e procura direções novas, chamadas componentes principais, que são combinações lineares das variáveis originais. A ideia central é simples: a primeira componente principal é a direção em que os dados mais se espalham, ou seja, onde a variância é máxima. Depois dela, as demais componentes também capturam variação, mas sempre em ordem decrescente e sem repetir a informação já usada nas anteriores. Se o vetor w representa a primeira componente principal, ele indica exatamente essa direção de maior variância. Pense como uma nuvem de pontos: a PCA tenta achar o eixo mais comprido da nuvem primeiro. Por isso, a afirmação correta é que a variância dos dados é máxima na direção dada por w. As alternativas que falam em variância igual entre as direções, em variância menor na primeira componente, ou em valores fixos como 1, confundem PCA com padronização ou com propriedades de vetores normalizados. O vetor da componente principal ser unitário não significa que a variância projetada nele seja 1. O que vale é a maximização da variância projetada. Em termos técnicos, a primeira componente principal é o autovetor associado ao maior autovalor da matriz de covariância. E o maior autovalor é justamente a variância explicada nessa direção. Então o gabarito E está correto porque a PCA escolhe w para ser a direção de maior variabilidade dos dados.