X e Y são variáveis aleatórias tais que E[ X ] = 5, E[ Y ] = 3, Var[X ] = 16, Var[ Y ] = 4, E[ XY ] = 10. O coeficiente de correlação entre X e Y é igual a
- A)– 0,625.
Certa, porque a covariância é -5 e, dividindo pelo produto dos desvios-padrão 4 e 2, a correlação fica -0,625.
- B)– 0,240.
Errada, porque o valor absoluto e o sinal não batem com o cálculo correto da correlação.
- C)0,166.
Errada, pois esse número não corresponde nem à covariância padronizada nem ao resultado da fórmula de correlação.
- D)0,348.
Errada, porque a correlação calculada não é positiva e também não assume esse valor.
- E)0,765.
Errada, já que a correlação não pode ser obtida por uma conta que leve a esse valor com os dados fornecidos.
Gabarito: A
Aqui a ideia é bem clássica: para achar o coeficiente de correlação, voce precisa primeiro descobrir a covariância. A fórmula é Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]. Como E[XY] = 10, E[X] = 5 e E[Y] = 3, então Cov(X,Y) = 10 - 15 = -5. Depois vem o ajuste pela dispersão de cada variável. O desvio-padrão de X é raiz de 16, ou seja, 4, e o de Y é raiz de 4, ou seja, 2. Então a correlação fica r = Cov(X,Y) / (σXσY) = -5 / (4·2) = -5/8. Logo, r = -0,625. Isso mostra uma correlação negativa moderada: quando uma sobe, a outra tende a descer, em média. Nada de mistério, só a receita básica de correlação bem temperada. Em provas, a FGV adora cobrar essa sequência: primeiro covariância, depois correlação. Não existe fórmula mágica alternativa aqui, é a definição padrão da estatística descritiva/probabilística.