Se X é uma variável aleatória com média 10 e desvio padrão 4, e se Y = 30 – 2X, então a média e o desvio padrão de Y valem, respectivamente:
- A)10 e 8;
Correta: a média de Y é 30 - 2·10 = 10 e o desvio padrão é |−2|·4 = 8.
- B)10 e 16;
Errada: a média até poderia ser 10, mas o desvio padrão não é 16, porque ele é multiplicado por 2, não por 4.
- C)12 e 8;
Errada: a média não é 12, pois a transformação linear deve ser aplicada diretamente em 10, resultando em 10.
- D)16 e 8;
Errada: a média não é 16, embora o desvio padrão 8 esteja correto.
- E)16 e 16.
Errada: a média não é 16 e o desvio padrão também não é 16, pois a constante 30 não altera a dispersão.
Gabarito: A
Quando a variável passa por uma transformação linear do tipo Y = a + bX, a média também se transforma de forma linear: basta substituir na expressão. Então, se X tem média 10, temos média de Y = 30 - 2·10 = 10. Simples e elegante, como costuma aparecer em Estatística Descritiva. Já o desvio padrão não “enxerga” a soma ou a subtração da constante 30, porque deslocar todos os valores para cima ou para baixo não muda a dispersão. O que ele sente é o fator multiplicativo. Se X é multiplicada por -2, o desvio padrão é multiplicado pelo valor absoluto de 2, ou seja, 4·2 = 8. Logo, para Y = 30 - 2X, a média é 10 e o desvio padrão é 8. A conta importante é esta: média transforma com a fórmula completa, mas o desvio padrão fica com o módulo do coeficiente multiplicando X. Esse é um ponto clássico de prova, muito cobrado pela FGV. Então o gabarito A está correto porque a média de Y é 10 e sua dispersão dobra em relação à de X, sem se importar com o sinal negativo da multiplicação. O sinal menos só inverte a ordem dos valores, mas não altera o tamanho da dispersão.