Suponha que um pesquisador estime uma regressão linear e encontre a equação y = 200 + 100*x – 1*x2 , em que y é o salário (em reais) e x é a idade do indivíduo descontados 14 anos (consideram-se apenas pessoas com 14 anos ou mais de idade). Assinale a opção que apresenta a idade a partir da qual o acréscimo de salário para cada ano a mais de vida passa ser negativo.
- A)15 anos.
Errada: aos 15 anos, o efeito marginal ainda é amplamente positivo, longe do ponto em que ele vira negativo.
- B)51 anos.
Errada: 51 anos ainda não é a idade de virada; o sinal só muda bem depois disso.
- C)65 anos.
Certa: a partir de 65 anos, o acréscimo de 1 ano de idade passa a reduzir o salário estimado.
- D)115 anos.
Errada: 115 anos está muito além do ponto em que o efeito já se tornou negativo.
- E)125 anos.
Errada: 125 anos também está muito depois da mudança de sinal, que ocorre bem antes.
Gabarito: C
Aqui o ponto central é olhar o efeito marginal da idade sobre o salário. A equação é y = 200 + 100x - x^2, com x representando a idade menos 14. Em regressão com termo quadrático, o sinal do efeito de x não fica sempre igual: ele muda conforme a derivada da função. É o tipo de questão em que a matemática faz o papel de fofoqueira: mostra exatamente quando o acréscimo deixa de ajudar. Se a gente calcula a variação do salário quando a idade aumenta 1 ano, o efeito marginal é dy/dx = 100 - 2x. Esse efeito é positivo enquanto 100 - 2x > 0, isto é, enquanto x < 50. Quando x passa de 50, o acréscimo de salário por mais um ano de vida fica negativo. Como x = idade - 14, então x = 50 corresponde à idade 64. A partir da idade seguinte, 65 anos, o efeito marginal já é negativo. Em outras palavras: até 64 anos, envelhecer ainda aumenta o salário estimado; a partir de 65, mais um ano de vida passa a reduzir o salário previsto pela regressão. Por isso o gabarito é a alternativa C. Em termos de interpretação estatística, isso é exatamente a leitura do termo quadrático: ele permite uma relação em curva, com ponto de máximo, e não uma linha reta sem surpresas.