X1, X2, X3 são variáveis aleatórias independentes tais que E[ X1 ] = 2, Var[ X1 ] = 9, E[ X2 ] = - 1, Var [ X2 ] = 4, E[ X3 ] = 2, Var[ X3 ] = 1. Se Y = 3X1 – 3X2 + 4X3, então a soma dos valores da média e da variância de Y é igual a
- A)150.
Correta, porque a media de Y e 17 e a variancia e 133, totalizando 150.
- B)160.
Errada, pois nao corresponde a soma correta da media com a variancia de Y.
- C)170.
Errada, porque resulta de algum erro de conta nas propriedades de media e variancia.
- D)180.
Errada, pois a aplicacao das formulas nao leva a esse valor.
- E)200.
Errada, ja que superestima a soma final e nao bate com o calculo correto.
Gabarito: A
Quando voce combina variaveis aleatorias por soma e multiplicacao por constantes, a media e a variancia seguem regras bem praticas. Para a media, basta somar os coeficientes vezes as medias: E(aX+bY+cZ)=aE(X)+bE(Y)+cE(Z). Para a variancia, se as variaveis sao independentes, a conta fica ainda mais elegante: Var(aX+bY+cZ)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+c^2Var(Z). Aqui, essa independencia eh a chave que evita termos cruzados chatos de covariancia. No enunciado, Y=3X1-3X2+4X3. Entao a media de Y vale 3.2 - 3.(-1) + 4.2 = 6 + 3 + 8 = 17. Ja a variancia de Y vale 3^2.9 + (-3)^2.4 + 4^2.1 = 81 + 36 + 16 = 133. Somando media e variancia, voce chega a 150. Ou seja, o gabarito A esta correto porque aplica exatamente as propriedades basicas de linearidade da media e da variancia em variaveis independentes. Em prova de Estatistica, essa dupla costuma aparecer como um pequeno teste de resistencia: se voce lembrar das formulas, resolve em menos de um minuto.