Considere uma variável aleatória X com função de densidade de probabilidade dada por f(x) = x – 2, se x ≥ 1, f(x) = 0 nos demais casos. A média de X é igual a
- A)1.
Errada, porque a média não vale 1; a integral que define E[X] diverge.
- B)2.
Errada, porque a esperança da variável não converge para 2 nem para qualquer outro valor finito.
- C)3.
Errada, porque o cálculo de E[X] leva a uma integral imprópria que diverge.
- D)8.
Errada, porque 8 não pode ser a média aqui, já que a esperança é infinita.
- E)ထ.
Certa, porque a média não existe como número finito, então a alternativa correta é a que indica nenhuma das anteriores.
Gabarito: E
Aqui a ideia é simples: para achar a média de uma variável aleatória contínua, voce calcula E[X] = \int x f(x) dx no suporte da distribuição. Nesta questão, a densidade é f(x) = x^{-2} para x \ge 1, então a esperança fica \int_1^\infty x \cdot x^{-2} dx = \int_1^\infty \frac{1}{x} dx. E aqui vem a pegadinha clássica: a integral de 1/x de 1 até infinito não converge, ela cresce sem limite. Em outras palavras, a média não é um número finito. A distribuição até é válida como densidade, porque \int_1^\infty x^{-2} dx = 1, mas isso não garante que a média exista. Então, o ponto central é separar duas coisas: a função pode ser uma densidade legítima e, ainda assim, ter esperança infinita. Isso aparece bastante em questões de probabilidade e estatística, especialmente quando a cauda da distribuição é pesada. O gabarito E está correto porque indica que não há média finita entre as alternativas apresentadas.