Suponha uma amostra X1, X2, X3, X4 de uma variável populacional com média σ e variância σ2. Se x̄ é a média amostral, assinale a opção que apresenta uma estatística não tendenciosa para σ2.
- A)(X12 + X22 + X32 + X42 – 4x̄2)/3
Correta, porque aplica a formula da variancia amostral nao tendenciosa com denominador n-1 = 3.
- B)(X12 + X22 + X32 + X42)/3
Errada, porque divide por 3, mas nao faz o ajuste correto da soma dos quadrados dos desvios.
- C)(X12 + X22 + X32 + X42)/4
Errada, porque dividir por 4 gera uma estimativa tendenciosa da variancia.
- D)(X12 + X22 + X32 + X42 – x̄2)/3
Errada, porque a estrutura da formula nao corresponde a soma dos desvios ao quadrado e o ajuste final fica incorreto.
- E)(X12 + X22 + X32 + X42 -4x̄2)/4
Errada, porque o denominador 4 nao elimina o vies da estimativa.
Gabarito: A
Quando voce quer estimar a variancia populacional, a ideia central e simples: medir o quanto os dados se afastam da media. O problema e que, se voce usar apenas a media amostral no lugar da media populacional, a conta fica levemente enviesada. Por isso existe o ajuste por n-1 no denominador, conhecido como correcao de Bessel. Para uma amostra com 4 observacoes, a estatistica nao tendenciosa da variancia e a soma dos desvios ao quadrado em relacao a media amostral dividida por 3. Em forma algebraica, isso aparece como (X1^2 + X2^2 + X3^2 + X4^2 - 4x̄^2)/3. Essa formula vem diretamente da identidade Var estimada = [sum Xi^2 - n x̄^2]/(n-1). A banca adora trocar a media amostral pelo denominador errado, ou retirar um termo que parece inofensivo, mas muda tudo. Se voce lembrar que variancia amostral nao tendenciosa usa n-1, ja elimina boa parte das armadilhas. Aqui, como n = 4, o denominador correto e 3, exatamente como na alternativa A. As demais opcoes ou dividem pelo numero errado, ou esquecem o ajuste necessario para remover o vies.