Um processo experimental gera vetores com grande quantidade de observações. Em uma execução do experimento, são gerados 5 milhões de vetores, cada um de tamanho 1.000. Para reduzir o espaço de armazenamento de dados, armazena-se apenas a soma, ∑x e a soma dos quadrados, ∑x2 das observações de cada vetor. Se, para um destes vetores, ∑x = 800 e ∑x2 = 999,64 então o coeficiente de variação é, aproximadamente:
- A)1,21;
Errada, porque 1,21 é maior do que o coeficiente de variação obtido após calcular média e desvio-padrão corretamente.
- B)0,75;
Certa, pois a média é 0,8, o desvio-padrão é aproximadamente 0,60 e, assim, CV = 0,60/0,8 ≈ 0,75.
- C)0,67;
Errada, porque 0,67 subestima a razão entre desvio-padrão e média encontrada nos dados.
- D)0,56;
Errada, pois 0,56 fica abaixo do valor calculado a partir da variância e da média do vetor.
- E)0,45.
Errada, porque 0,45 é incompatível com a dispersão relativa que os dados apresentam.
Gabarito: B
O coeficiente de variação mede a dispersão relativa: ele compara o desvio-padrão com a média. Em outras palavras, ele diz quanto os dados “balançam” em relação ao tamanho típico deles. A fórmula mais usada é CV = s / x̄, e muitas vezes ele é apresentado em percentual, mas aqui basta o valor aproximado. Como o vetor tem 1.000 observações, a média é x̄ = ∑x / n = 800 / 1000 = 0,8. Para achar a variância, usamos a identidade Var(X) = E(X²) - [E(X)]². Logo, E(X²) = 999,64 / 1000 = 0,99964 e, então, Var = 0,99964 - 0,8² = 0,99964 - 0,64 = 0,35964. O desvio-padrão é a raiz da variância: s ≈ √0,35964 ≈ 0,60. Agora é só dividir pela média: CV ≈ 0,60 / 0,8 = 0,75. É exatamente por isso que o gabarito é a alternativa B. A FGV gosta desse tipo de conta direta, cobrando a leitura correta de soma, soma dos quadrados, média, variância e, no fim, o coeficiente de variação. O segredo é não se perder na aritmética: primeiro transforme em média e E(X²), depois faça a diferença, tire a raiz e divida pela média.