Um estatístico deseja selecionar uma amostra aleatória simples, com reposição, de uma população em que a variância é conhecida e igual a 40.000. A amostra precisa atender ao seguinte critério: A amplitude máxima do intervalo bilateral de 95% de confiança para a média populacional deve ser de 200. O menor tamanho de amostra que atende à condição descrita acima é:
- A)16;
Correta, porque n = 15,3664 e o menor inteiro que garante a amplitude máxima exigida é 16.
- B)15;
Errada, porque 15 ainda não assegura a largura máxima do intervalo dentro do limite pedido.
- C)5;
Errada, porque a amostra fica muito pequena e a amplitude do intervalo seria bem maior que 200.
- D)4;
Errada, porque uma amostra de 4 gera erro-padrão alto demais para uma confiança de 95% com amplitude tão restrita.
- E)3.
Errada, porque 3 é insuficiente para produzir um intervalo bilateral tão estreito.
Gabarito: A
Quando a variância populacional é conhecida, a confiança para a média usa a distribuição normal (z). A ideia aqui é olhar para a largura do intervalo: se a amplitude máxima total deve ser 200, então a margem de erro em cada lado é 100. Em resumo, você está controlando o quanto o intervalo pode “abrir” ao redor da média amostral. A fórmula da margem de erro é E = z * sigma / raiz(n). Como a variância é 40.000, o desvio-padrão é 200. Para 95% de confiança, z vale 1,96. Então fica 100 = 1,96 * 200 / raiz(n). Isolando n, temos raiz(n) = 3,92, logo n = 15,3664. Como tamanho de amostra precisa ser inteiro e deve garantir a condição, você arredonda para cima. Portanto, o menor n é 16. Esse é o tipo de conta que a FGV adora: simples na fórmula, mas capciosa no arredondamento. Se arredondar para 15, a amplitude passa um pouquinho do limite e a condição não é atendida.