Considere um modelo de regressão múltipla usual Y = Xb + e, baseado em n observações y, b é um vetor de k parâmetros, e é um vetor de k componentes aleatórios e X é uma matriz de observações de dimensões n por (k + 1). Se XT denota a transposta de X, então o estimador de mínimos quadrados de b é igual a:
- A)(XXT ) -1X TY
Errada, porque usa (XX^T)^-1 X^T Y, expressão que não corresponde ao estimador de MQO no modelo usual.
- B)(XTX)-1XY
Errada, pois (X^T X)^-1 X Y está dimensionalmente incorreta e falta a transposta de X multiplicando Y.
- C)X TY (XTX)-1
Errada, porque X^T Y (X^T X)^-1 está com a ordem invertida e não representa a fórmula dos mínimos quadrados.
- D)X TX(X TY) -1
Errada, pois X^T X(X^T Y)^-1 não é a forma do estimador e ainda traz uma inversa aplicada ao termo errado.
- E)(XTX)-1X TY
Certa, pois o estimador de mínimos quadrados ordinários é b̂ = (X^T X)^-1 X^T Y.
Gabarito: E
Na regressão linear múltipla, o objetivo dos mínimos quadrados é escolher o vetor de parâmetros que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. Em linguagem de prova: você pega o modelo Y = Xb + e, monta as equações normais e resolve para b. Se a matriz X tem posto completo, o estimador fica bem definido e tem a forma clássica de álgebra matricial. A conta padrão leva à expressão b̂ = (X'X)^-1 X'Y, em que X' é a transposta de X. Repare na ordem: primeiro vem X'X, depois a inversa, e só então X'Y. Essa ordem não é enfeite, porque produto de matrizes não é comutativo e trocar a posição muda tudo. É exatamente por isso que o gabarito é a letra E. Ela traz a fórmula correta do estimador de mínimos quadrados ordinários. As outras alternativas erram por inverter a ordem, trocar dimensões ou montar produtos que nem fazem sentido algébrico na regressão. Como fundamento teórico, isso vem da teoria dos MQO e das equações normais do modelo linear clássico, ensinadas em qualquer referência de econometria e estatística aplicada. Em prova, quando aparecer a fórmula do estimador, pense automaticamente: transposta, produto, inversa, e depois o vetor Y.