Seja uma amostra x1, x2, ..., xn e seja também zi = ( 1 - α)2xi, i = 1,2, ..., n, α ≠ 1. O coeficiente de variação de z1, z2, ..., zn, em relação ao coeficiente de variação da amostra x1, x2, ..., xn, CVx, é:
- A)(1 - α)4 CVx;
Errada, porque multiplicar todos os dados por uma constante não faz o CV ganhar essa constante elevada à quarta potência.
- B)(1 - α)2 CVx;
Errada, pois o CV não é multiplicado simplesmente por (1 - α)^2 quando há mudança de escala uniforme.
- C)(1 - α) CVx;
Errada, já que o fator de escala não aparece no CV final quando ele é positivo e comum a todos os valores.
- D)CVx;
Certa, porque a média e o desvio-padrão são multiplicados pelo mesmo fator, então o coeficiente de variação permanece igual.
- E)(1 - α)2/ CVx.
Errada, o CV não é dividido pelo coeficiente original nessa transformação; ele não sofre essa alteração.
Gabarito: D
O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa: ele é dado por desvio-padrão dividido pela média, geralmente em percentual. Por isso, ele é muito útil quando você quer comparar variabilidade entre conjuntos de dados que estão em escalas diferentes. A ideia-chave aqui é simples: se todos os valores da amostra são multiplicados por uma mesma constante positiva, a média e o desvio-padrão são multiplicados por essa mesma constante. Na questão, temos z_i = (1 - α)^2 x_i. O fator (1 - α)^2 é sempre não negativo e, como α ≠ 1, ele é diferente de zero; na prática, é uma constante de escala positiva. Então, a média de z fica multiplicada por esse fator, e o desvio-padrão também. Ao dividir um pelo outro, o fator cancela. Resultado: o coeficiente de variação da amostra transformada é igual ao coeficiente de variação original. É aquele momento em que o CV diz: "mudou tudo por fora, mas a relação interna continuou a mesma". Por isso, o gabarito é a alternativa D. Em termos conceituais, não há uma regra legal aqui, e sim uma propriedade clássica da Estatística Descritiva: o CV é invariante a multiplicação por constante positiva.