Se X1, X2, ..., Xn é uma amostra aleatória simples de uma densidade exponencial f(x; θ) = θexp{-θx}, x > 0, e se T é um estimador não tendencioso qualquer de θ, então, pela desigualdade de Cramér-Rao, a variância de T é maior ou igual a
- A)θ/n.
Errada, porque θ/n tem dimensão incompatível com o limite de variância obtido pela desigualdade de Cramér-Rao.
- B)nθ2.
Errada, porque nθ² cresce com n, enquanto o limite correto para a variância diminui quando a amostra aumenta.
- C)θ2/(n-1).
Errada, porque θ²/(n-1) não é a forma dada por Cramér-Rao para essa amostra exponencial.
- D)n/θ.
Errada, porque n/θ não corresponde ao inverso da informação de Fisher e nem tem forma de limite inferior de variância aqui.
- E)θ2/n.
Certa, porque a informação de Fisher da amostra é n/θ² e, logo, o limite de Cramér-Rao é θ²/n.
Gabarito: E
Aqui a ideia é bem clássica de inferência: quando voce quer saber quão boa pode ser qualquer estimativa não tendenciosa de um parâmetro, entra a desigualdade de Cramér-Rao. Ela diz que a variância de qualquer estimador não tendencioso T de θ é pelo menos 1 dividido pela informação de Fisher da amostra. Na densidade exponencial f(x; θ) = θe^{-θx}, com x > 0, o parâmetro θ é a taxa. Para uma observação, a log-verossimilhança é ln(θ) - θx. A derivada segunda em relação a θ é -1/θ², então a informação de Fisher de uma observação é 1/θ². Como a amostra é aleatória simples com n observações independentes, a informação total é n/θ². Aplicando Cramér-Rao, a variância de qualquer estimador não tendencioso de θ deve ser maior ou igual a 1 / (n/θ²) = θ²/n. É exatamente isso que a alternativa E traz. Em provas da FGV, esse tipo de conta costuma aparecer como uma pequena armadilha: a banca troca taxa por média, ou confunde a informação de uma observação com a da amostra inteira. Resumo mental para voce não escorregar: exponencial com taxa θ, informação por dado é 1/θ², com n dados vira n/θ², e o limite inferior da variância fica θ²/n. Simples, bonito e com cara de prova.