Suponha que, para estimar uma proporção p populacional de pessoas favoráveis a certa proposta governamental, uma amostra aleatória simples seja observada e mostre que, de 400 indivíduos pesquisados, 200 manifestaram-se favoráveis à proposta. Lembrando que, se Z tem distribuição normal padrão P[Z < 1,96] = 0,975, um intervalo de 95% de confiança aproximado para p será dado por:
- A)(0,49; 0,51);
Errada, porque a margem de erro foi subestimada demais e o intervalo ficou estreito para um nivel de 95%.
- B)(0,48; 0,52);
Errada, pois ainda usa uma margem menor do que a correta, embora mais ampla que a alternativa A.
- C)(0,47; 0,53);
Errada, porque amplia mais o intervalo, mas ainda nao alcança a margem de erro calculada para 95%.
- D)(0,45; 0,55);
Certa, pois 0,50 ± 1,96 x sqrt(0,5 x 0,5 / 400) resulta aproximadamente em (0,45; 0,55).
- E)(0,42; 0,57).
Errada, pois o intervalo ficou assimetrico e mais largo do que o necessario para a estimativa dada.
Gabarito: D
Quando voce quer estimar uma proporcao populacional, a ideia e simples: usa a proporcao da amostra como centro do intervalo e soma/subtrai uma margem de erro. Aqui, 200 de 400 favoraveis dao proporcao amostral de 0,50. Como o intervalo pedido e de 95%, usamos o valor critico 1,96 da normal padrao. O erro-padrao da proporcao e dado por raiz de p̂(1-p̂)/n. Substituindo: raiz de 0,5 x 0,5 / 400 = raiz de 0,000625 = 0,025. A margem de erro fica 1,96 x 0,025 = 0,049. Agora e so montar o intervalo: 0,50 - 0,049 = 0,451 e 0,50 + 0,049 = 0,549. Arredondando, voce chega em (0,45; 0,55). E exatamente isso que a banca quer: o intervalo aproximado de 95% ao redor da estimativa amostral. Em provas, a FGV gosta de ver se voce sabe que intervalo de confiança nao e a proporcao observada pura e simples, mas sim a proporcao com a margem de erro. Aqui nao tem misterio: centro em 0,50, erro de 0,049 e resposta na alternativa D.