Uma amostra aleatória simples de tamanho 784 será obtida para se estimar o valor de uma média populacional. Se σ é o valor do desvio padrão populacional, a probabilidade de que o valor da média amostral não difira do valor da média populacional por mais de 0,1σ, é aproximadamente igual a
- A)0,995.
Correta, porque P(|Z| <= 2,8) é aproximadamente 0,995.
- B)0,975.
Errada, pois 0,975 corresponderia a um intervalo bem menor do que 2,8 desvios-padrão.
- C)0,957.
Errada, porque 0,957 ainda é abaixo da área acumulada esperada para ±2,8 na normal padrão.
- D)0,946.
Errada, pois 0,946 também subestima a probabilidade pedida.
- E)0,933.
Errada, já que 0,933 é compatível com um intervalo ainda mais estreito na normal.
Gabarito: A
Aqui a ideia central é a distribuição amostral da média. Quando voce tira uma amostra aleatória simples, a média amostral varia em torno da média populacional, mas essa variação fica mais controlada quando o tamanho da amostra cresce. Nesse caso, com n = 784, o desvio-padrão da média amostral é σ/√784 = σ/28. A pergunta quer a probabilidade de a média amostral não se afastar de μ por mais de 0,1σ, isto é, P(|X̄ - μ| <= 0,1σ). Padronizando, isso vira P(|Z| <= 0,1σ / (σ/28)) = P(|Z| <= 2,8). Agora é tabela normal na veia: P(|Z| <= 2,8) = 2Φ(2,8) - 1. Como Φ(2,8) é aproximadamente 0,9974, temos 2 × 0,9974 - 1 = 0,9948, ou seja, aproximadamente 0,995. Então o gabarito A está correto. O raciocínio é clássico de prova: primeiro achar o erro-padrão da média, depois transformar o intervalo em Z e, por fim, ler a área na normal padrão. Sem mistério, só a normal fazendo o trabalho pesado.