O tempo, em horas diárias, que homens com idades entre os 40 e 50 anos acessam redes sociais segue uma distribuição Normal com média 2,5 e desvio padrão 1,5. Para o mesmo grupo etário de mulheres, esse tempo segue também uma distribuição Normal com média 3 e desvio padrão 1. Serão retiradas duas amostras casuais e independentes, uma de homens e outra de mulheres. O tamanho mínimo da amostra da população das mulheres que se pretende com probabilidade pelo menos 0,95 e cuja diferença em valor absoluto entre a média amostral e a média populacional não exceda 0,1 é, aproximadamente:
- A)20;
Errada, porque uma amostra de 20 é pequena demais para garantir margem de erro de apenas 0,1 com 95% de probabilidade.
- B)100;
Errada, pois 100 ainda não reduz o erro-padrão o suficiente para atingir a precisão exigida.
- C)250;
Errada, porque 250 melhora a precisão, mas ainda fica abaixo do tamanho mínimo necessário.
- D)385;
Certa, pois 385 é o menor inteiro que satisfaz P(|X̄ - μ| = 0,95.
- E)500.
Errada, porque 500 até atenderia a condição, mas não é o mínimo pedido pelo enunciado.
Gabarito: D
Aqui a ideia é bem clássica de Estatística Descritiva/Inferencial: quando a população é Normal, a média amostral também segue Normal. Para a média das mulheres, temos desvio padrão populacional igual a 1 e queremos que a diferença entre a média amostral e a média verdadeira fique, em valor absoluto, no máximo 0,1 com probabilidade de 0,95. Isso equivale a montar a condição P(|X̄ - μ| <= 0,1) = 0,95. Como a distribuição é Normal, usamos o valor crítico z = 1,96 para concentrar 95% no centro. A margem de erro fica 1,96 vezes o erro-padrão: 0,1 = 1,96 * (1 / sqrt(n)). Fazendo a conta, sqrt(n) = 1,96 / 0,1 = 19,6. Elevando ao quadrado, n = 384,16. Como tamanho de amostra tem de ser inteiro e o enunciado pede o mínimo que garanta a condição, arredonda-se para cima: 385. Então o gabarito D está correto porque é exatamente o menor n que assegura essa precisão com 95% de confiança. Não tem mistério: é fórmula de margem de erro para média com desvio padrão conhecido, com o ajuste final para cima.