Suponha que experimentos Bernoulli independentes sejam realizados até que o primeiro “sucesso” aconteça. Se X é o número de tentativas anteriores a esse primeiro “sucesso”, avalie se as afirmativas a seguir sobre a distribuição de X estão corretas. I. X tem distribuição geométrica. II. E[X] = (1 – p)/p III. Var[X] = (1 – p)/p2 Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
Esta alternativa sustenta que, para o número de tentativas anteriores ao primeiro sucesso, somente a afirmação I estaria correta. De fato, X segue distribuição geométrica na parametrização que conta o número de falhas antes do primeiro sucesso, mas as expressões de esperança e variância também são conhecidas e válidas nesse caso. O erro está em excluir as afirmações II e III, que decorrem diretamente das fórmulas da geométrica: E[X] = (1-p)/p e Var[X] = (1-p)/p².
- B)I e II, apenas.
Aqui se afirma que X é geométrica e que sua esperança é (1-p)/p, mas que a variância não corresponderia ao caso. O ponto correto é que, quando X conta as tentativas anteriores ao primeiro sucesso, a distribuição geométrica é a modelagem adequada e a média realmente vale (1-p)/p. O problema é que a variância também é (1-p)/p², então a alternativa deixa de fora uma terceira afirmação verdadeira.
- C)I e III, apenas.
Esta opção diz que X é geométrica e que a variância é (1-p)/p², mas não admite a fórmula da esperança. Ocorre que, na distribuição geométrica que mede o número de fracassos antes do primeiro sucesso, a média é E[X] = (1-p)/p. Assim, a alternativa falha por negar a afirmação II, que é uma consequência padrão da distribuição geométrica.
- D)II e III, apenas.
A alternativa propõe que apenas as afirmações sobre esperança e variância estão corretas, dispensando a identificação da distribuição. Isso não se sustenta porque o próprio enunciado descreve o modelo geométrico, isto é, repetição de ensaios de Bernoulli até o primeiro sucesso. Além disso, as fórmulas da média e da variância apresentadas estão corretas, mas a afirmação I também é verdadeira, de modo que a opção fica incompleta.
- E)I, II e III.
Esta é a opção correta porque as três afirmações descrevem exatamente a distribuição geométrica na forma em que X conta o número de tentativas anteriores ao primeiro sucesso. Nessa parametrização, X tem distribuição geométrica, a esperança é E[X] = (1-p)/p e a variância é Var[X] = (1-p)/p². Portanto, I, II e III estão corretas.
Gabarito: E
Aqui a ideia é simples: você repete ensaios de Bernoulli independentes até aparecer o primeiro sucesso. Se X conta quantas tentativas deram errado antes desse primeiro acerto, então X segue distribuição geométrica na convenção mais usada em Estatística. É aquele caso clássico de "esperar o primeiro sucesso" em uma sequência de tentativas com probabilidade p de sucesso em cada uma. Nessa parametrização, a esperança não é 1/p, porque X não está contando a tentativa do sucesso, e sim só as falhas anteriores. Por isso, E[X] = (1 - p)/p. Já a variância também é a da geométrica nessa mesma convenção: Var[X] = (1 - p)/p^2. Então as três afirmações estão corretas: I reconhece a distribuição geométrica, II traz a média certa para o número de fracassos antes do primeiro sucesso, e III traz a variância correta. Em provas da FGV, esse cuidado com a convenção é o ponto principal: às vezes a banca troca "número de tentativas até o primeiro sucesso" por "número de falhas antes do primeiro sucesso", e isso muda a fórmula da média. Resumo de prova: se o enunciado diz "tentativas anteriores ao primeiro sucesso", pense em geométrica com contagem de falhas. Aí os valores batem exatamente com o gabarito.