Suponha que se pretende estimar a média μ de uma variável aleatória contínua com variância conhecida igual a 400. O tamanho da amostra para que possamos garantir, usando o teorema central do limite, que o valor da média amostral não diferirá do valor de μ por mais de 1 unidade, com 95% de probabilidade, é no mínimo igual a: Observação: se Z tem distribuição normal padrão, então P[ Z < 1,96 ] = 0,975
- A)1.002;
Errada, porque 1002 não é suficiente para reduzir a margem de erro a 1 com variância 400 e nível de 95%.
- B)1.045;
Errada, porque 1045 ainda fica abaixo do tamanho mínimo exigido pelo cálculo do erro amostral.
- C)1.278;
Errada, porque 1278 também não atinge a precisão pedida no enunciado.
- D)1.423;
Errada, porque 1423 é menor que o valor necessário obtido pela fórmula do intervalo de confiança.
- E)1.537.
Certa, porque n = (1,96 \u00d7 20 / 1)² = 1536,64, e o mínimo inteiro que garante a condição é 1537.
Gabarito: E
Quando você quer estimar a média populacional e a variância é conhecida, o caminho clássico é usar o teorema central do limite. A média amostral fica aproximadamente normal, com média μ e desvio-padrão igual a σ/\u221an. Aqui, a variância é 400, então o desvio-padrão populacional é 20. A questão pede que a média amostral não difira de μ por mais de 1 unidade com 95% de probabilidade. Isso significa montar a margem de erro: 1 = 1,96 \u00d7 20/\u221an, porque, para 95% de confiança bilateral, o valor crítico é 1,96. Agora é só isolar n: \u221an = 39,2, então n = 39,2\u00b2 = 1536,64. Como o tamanho da amostra precisa ser inteiro e garantir a condição, arredonda-se para cima: 1537. Ou seja, o gabarito E está correto. É aquele tipo de conta que parece grande, mas no fundo é só a fórmula da margem de erro trabalhando em modo "sem drama": quanto menor o erro tolerado, maior precisa ser a amostra.