A distribuição conjunta dos preços de um determinado componente eletrônico importado e nacional segue uma distribuição normal bivariada. O preço do produto importado segue uma distribuição normal com média R$ 100,00 e desvio padrão R$ 20,00, enquanto o preço do produzido nacional segue uma distribuição normal com média R$ 80,00 e desvio padrão R$ 10,00. A correlação entre os preços do componente eletrônico importado e nacional é 90%. Selecionou-se uma amostra aleatória de unidades comerciais que oferecem esse produto nas duas versões. Usando a notação para a distribuição normal N(µ; σ2), sendo µ, a média e σ2 a variância, a distribuição condicional dos preços do produto nacional, sabendo que o preço do produto importado é R$ 105,00, é:
- A)N(82,25; 19);
Certa, pois a media condicional e 82,25 e a variancia condicional e 19.
- B)N(82,25; 190,5);
Errada, porque 190,5 nao e a variancia condicional; a variancia deve ser reduzida pela correlacao.
- C)N(82,25; 192);
Errada, pois 192 nao corresponde a nenhuma formula da normal condicional neste caso.
- D)N(89,00; 19);
Errada, porque a media condicional nao e 89,00 quando se aplica a formula correta.
- E)N(89,00; 190,5).
Errada, pois tanto a media quanto a variancia estao incorretas para a distribuicao condicional.
Gabarito: A
Quando voce tem uma distribuicao normal bivariada, a grande sacada e esta: ao fixar o valor de uma variavel, a outra continua normal, so que com media e variancia ajustadas. Ou seja, nao e uma conta de chute, e uma conta de regressao dentro da normal bivariada. Aqui, o preco nacional condicionado ao preco importado segue uma normal condicional. A media condicional usa a formula: E(Y|X=x) = muY + rho.(sigmaY/sigmaX).(x - muX). Substituindo os dados: 80 + 0,9.(10/20).(105 - 100) = 80 + 0,9.0,5.5 = 80 + 2,25 = 82,25. A variancia condicional tambem muda e fica menor, porque conhecer X reduz a incerteza sobre Y. A formula e Var(Y|X=x) = sigmaY^2.(1 - rho^2). Assim, 10^2.(1 - 0,9^2) = 100.(1 - 0,81) = 19. Logo, a distribuicao condicional e N(82,25; 19). A banca adora esse tipo de questao porque mistura normal bivariada com interpretacao de dependencia, entao vale memorizar: media ajusta, variancia diminui.