Deseja-se estimar a proporção θ de itens defeituosos numa grande produção de itens. Suponha que não se tenha informação prévia sobre o valor de θ, de modo que uma densidade a priori Uniforme no intervalo (0, 1) seja usada para θ. Suponha ainda que uma amostra aleatória simples de tamanho 15 seja obtida (note: são 15 ensaios Bernoulli(θ)) e que 2 itens defeituosos e 13 não defeituosos sejam constatados. Se a função de perda de erro quadrático for usada, a estimativa de Bayes a posteriori para θ é igual a
- A)2/15.
Errada, porque 2/15 é a proporção amostral observada, mas não é a estimativa de Bayes sob perda quadrática.
- B)3/17.
Certa, pois a priori Uniforme(0,1) equivale a Beta(1,1), a posterior vira Beta(3,14) e sua média é 3/17.
- C)4/15.
Errada, porque 4/15 não corresponde nem à proporção observada nem à média posterior do modelo.
- D)5/17.
Errada, pois 5/17 não é a média da distribuição posterior obtida com os dados fornecidos.
- E)2/13.
Errada, porque 2/13 não tem relação com a atualização Bayesiana do problema e mistura números de forma indevida.
Gabarito: B
Aqui a ideia é bem clássica: quando você não tem informação prévia sobre a proporção de defeituosos, usar uma priori Uniforme(0,1) é o mesmo que começar com uma Beta(1,1), ou seja, uma crença inicial totalmente neutra. Como os dados são Bernoulli, a conjugação faz o trabalho bonito: depois de observar 2 defeituosos em 15 itens, a distribuição a posteriori vira Beta(3,14). E por que isso importa? Porque, sob função de perda de erro quadrático, a estimativa de Bayes é a média da distribuição posterior. Então basta fazer a continha da média da Beta(3,14): 3/(3+14) = 3/17. Perceba que a banca quer que você reconheça o par “Uniforme + Bernoulli”, que quase sempre leva a uma Beta posterior. Não precisa inventar moda nem fazer estimador amostral direto. O ponto central é: com perda quadrática, a resposta é a esperança posterior, não a proporção observada pura e simples. Assim, o gabarito B está correto porque a posterior é Beta(3,14) e sua média é 3/17.