Se X é uma variável aleatória com média 20 e variância 4, então a variável Y = 5X – 100 tem média e variância iguais, respectivamente, a:
- A)0 e 20;
Errada, porque a média de Y não é 0 com variância 20; a média até é 0, mas a variância correta é 100.
- B)0 e 100;
Certa, pois E(Y) = 5·20 - 100 = 0 e Var(Y) = 5²·4 = 100.
- C)100 e 20;
Errada, porque os valores de média e variância estão trocados e nenhum deles bate com a transformação dada.
- D)100 e 100;
Errada, porque a média não é 100 e a variância não pode continuar em 100 se a variável foi multiplicada por 5.
- E)20 e 20.
Errada, porque a média não permanece 20 e a variância também não fica em 20 após a transformação linear.
Gabarito: B
Quando a questão traz uma transformação linear do tipo Y = aX + b, a média muda de um jeito simples: E(Y) = aE(X) + b. Aqui, como E(X) = 20, temos E(Y) = 5·20 - 100 = 0. Ou seja, o "-100" desloca a média para baixo e o 5 multiplica tudo antes desse ajuste. Na variância, a história é ainda mais tranquila: somar ou subtrair uma constante não altera a variância, e multiplicar por a faz a variância virar a² vezes a variância original. Então, Var(Y) = 5²·Var(X) = 25·4 = 100. A variância cresce bastante porque o fator 5 “espicha” os valores. Assim, a média de Y é 0 e a variância é 100. É exatamente o que aparece na alternativa B. Em questões de concurso, esse tipo de conta costuma ser uma aplicação direta das propriedades da esperança e da variância, sem pegadinha escondida, só matemática básica bem aplicada.