Suponha que temos cinco salas cujas portas estão numeradas de 1 a 5. Sabemos que cada sala contém 10 pessoas, e que o número de mulheres na sala i é igual a i, i = 1,..,5. Assim, por exemplo, a sala 2 contém duas mulheres e três homens. Selecionamos ao acaso uma sala e depois selecionamos ao acaso uma pessoa dessa sala. Verificamos então que a pessoa sorteada é uma mulher. A probabilidade de que ela estivesse na sala 5 é igual a
- A)1/6.
Errada, porque 1/6 não aparece na proporção posterior das salas após observar que a pessoa sorteada é mulher.
- B)1/3.
Certa, pois aplicando Bayes a probabilidade posterior da sala 5 é 5 dividido pela soma 1+2+3+4+5, isto é, 1/3.
- C)2/5.
Errada, pois 2/5 superestima a chance da sala 5 e ignora a normalização pelas demais salas.
- D)3/5.
Errada, porque 3/5 seria alta demais para uma única sala entre cinco, mesmo a sala 5 tendo mais mulheres.
- E)4/5.
Errada, pois 4/5 é um valor incompatível com a atualização condicional baseada nas quantidades de mulheres em cada sala.
Gabarito: B
Aqui a ideia é bem clássica de probabilidade condicional: você observa um fato novo e, a partir dele, recalcula a chance de cada sala ter sido a escolhida. Primeiro, cada sala tem a mesma chance de ser selecionada, isto é, 1/5. Depois, dentro de cada sala, a chance de sair uma mulher depende da quantidade de mulheres na sala: na sala i, essa chance é i/10. Então, depois de saber que a pessoa sorteada é mulher, as salas mais “femininas” ficam mais prováveis. Isso é exatamente o espírito do Teorema de Bayes: a probabilidade posterior é proporcional à probabilidade inicial vezes a chance de observar o evento. Fazendo a conta, temos pesos proporcionais a 1, 2, 3, 4 e 5 para as salas 1 a 5. A soma desses pesos é 15. Logo, a probabilidade de ter vindo da sala 5 é 5/15 = 1/3. Portanto, o gabarito B está correto. A mulher observada não “vem da sala 5 por sorte mística”, mas porque a sala 5 é a que mais contribui para o evento mulher entre as cinco salas.