Planeja-se selecionar quatro pessoas, com reposição, de uma pequena população composta por vinte pessoas, das quais dez foram acometidas por certa doença. Se X é a variável aleatória que contará o número de pessoas, dentre as quatro, que foram acometidas pela referida doença, então a probabilidade de X ser igual a 2 é igual a
- A)0,375.
Correta, pois P(X=2) = C(4,2) · (1/2)^4 = 6/16 = 0,375.
- B)0,425.
Errada, porque 0,425 não corresponde ao valor binomial obtido para exatamente 2 casos doentes.
- C)0,475.
Errada, pois 0,475 não é o resultado da combinação com as probabilidades de 2 sucessos em 4 tentativas.
- D)0,5.
Errada, já que 0,5 seria apenas uma chance simples, e não a probabilidade exata pedida.
- E)0,525.
Errada, porque 0,525 não aparece no cálculo binomial deste caso.
Gabarito: A
Quando o enunciado diz que a seleção é feita com reposição, cada sorteio continua com a mesma chance de encontrar uma pessoa doente: 10 em 20, isto é, 1/2. Como são quatro escolhas independentes, o número de pessoas doentes entre as quatro segue uma distribuição binomial, com n = 4 e p = 1/2. A ideia aqui é contar de quantas formas você pode escolher exatamente 2 doentes entre as 4 seleções. Isso aparece no coeficiente binomial C(4,2), que vale 6. Depois, multiplica-se pela probabilidade de uma sequência específica com 2 doentes e 2 não doentes: (1/2)^2 vezes (1/2)^2. Fazendo a conta, fica P(X = 2) = C(4,2) · (1/2)^4 = 6/16 = 3/8 = 0,375. Ou seja, a resposta é a alternativa A. Sem mistério: a banca quer que você reconheça o modelo binomial e não tente inventar moda com média, porcentagem solta ou regra de três. Se quiser guardar a receita: com reposição, a chance não muda a cada tentativa; então a binomial costuma entrar de fininho. E quando pedem exatamente k sucessos, você usa combinação vezes probabilidade de uma sequência específica.