Considere o experimento de se lançar aleatoriamente dois dados. Sejam A, B e C os eventos: A = o resultado do primeiro dado é ímpar. B = o resultado do segundo dado é ímpar. C = a soma dos dois resultados é ímpar. Avalie então se as seguintes afirmativas estão corretas: I. A e B são independentes. II. A e C são independentes. III. A, B e C são independentes. Está correto o que se afirma em
- A)I, apenas.
Errada, porque embora I esteja correta, a afirmativa II tambem e verdadeira.
- B)I e II, apenas.
Certa, pois I e II sao verdadeiras e III e falsa.
- C)I e III, apenas.
Errada, porque II tambem esta correta e nao apenas I e III.
- D)II e III, apenas.
Errada, porque I tambem e verdadeira, alem de II.
- E)I, II e III.
Errada, porque a afirmativa III nao e verdadeira.
Gabarito: B
Quando voce lança dois dados, cada resultado pode ser tratado como um experimento com comportamento independente do outro. Isso significa que o que sai no primeiro dado nao altera as chances do segundo. Aqui, A = "primeiro dado impar" e B = "segundo dado impar". Como cada dado tem 3 faces impares em 6, temos P(A) = 1/2 e P(B) = 1/2. Alem disso, P(A ∩ B) = 1/4, que bate com P(A)P(B). Logo, A e B sao independentes. Agora vem C: "a soma e impar". Isso acontece exatamente quando um dado sai impar e o outro par. Como metade dos resultados tem soma impar, P(C) = 1/2. Para verificar A e C, pense assim: se A ocorreu, o primeiro dado ja e impar; para a soma ficar impar, o segundo precisa ser par. Isso tem probabilidade 1/2, entao P(A ∩ C) = 1/4, igual a P(A)P(C). Portanto, A e C tambem sao independentes. O detalhe que derruba a terceira afirmativa e que independencia em trio exige mais do que os pares serem independentes. Se A e B ocorrem juntos, os dois dados sao impares, entao a soma necessariamente e par, nunca impar. Assim, A ∩ B ∩ C tem probabilidade 0, enquanto P(A)P(B)P(C) = 1/8. Como isso nao confere, os tres nao sao independentes entre si. Resumo de prova: I e II estao certas, III esta errada. Por isso o gabarito e B. Em probabilidades, a banca costuma testar exatamente essa diferenca entre independencia par a par e independencia conjunta, entao vale ficar atento a esse capitulo classico de "parece independente, mas nao e".