Deseja-se testar a média populacional , sendo as hipóteses: H0:μ = 600 e H1:μ > 600 Suponha que o tamanho da amostra seja n = 100, a variância seja conhecida e igual a σ2 = 400 e a probabilidade de ocorrer o erro do tipo I, 2,5%. O poder do teste, quando a média, sob a hipótese alternativa, for μ = 608 é, aproximadamente:
- A)82,3%;
Errada, porque 82,3% subestima bastante a chance de rejeitar H0 quando a média verdadeira é 608.
- B)87,2%;
Errada, porque 87,2% ainda fica abaixo do poder calculado para esse desvio de 8 unidades na média.
- C)92,2%;
Errada, porque 92,2% é menor do que o poder obtido ao comparar 608 com o ponto crítico do teste.
- D)97,7%;
Certa, porque o ponto crítico é 603,92 e, sob μ = 608, a probabilidade de a média amostral ultrapassá-lo é cerca de 97,7%.
- E)100,0%.
Errada, porque o poder não é 100%: ainda existe uma pequena chance de não rejeitar H0 mesmo com μ = 608.
Gabarito: D
Quando você testa uma média com variância conhecida, a conta costuma virar um teste z. Aqui, a hipótese nula é H0: μ = 600 e a alternativa é unilateral à direita, então você rejeita H0 quando a média amostral fica grande demais. Como o erro tipo I é 2,5%, a região crítica fica no 2,5% da cauda superior da normal padrão, isto é, com z crítico de aproximadamente 1,96. Com σ = 20 e n = 100, o erro-padrão é 20/10 = 2. Então o ponto de corte da média amostral é 600 + 1,96·2 = 603,92. Em outras palavras: se a média observada passar de 603,92, você rejeita H0. Agora vem o poder do teste: é a chance de rejeitar H0 quando a verdadeira média é μ = 608. Nesse caso, a média amostral tem distribuição aproximadamente Normal(608, 2). Logo, o poder é P(X̄ > 603,92 | μ = 608) = P(Z > (603,92 - 608)/2) = P(Z > -2,04). Como P(Z > -2,04) é cerca de 0,979, o poder é aproximadamente 97,7%. Por isso o gabarito é a letra D. Em linguagem de prova: quanto mais a média real se afasta da hipótese nula na direção da alternativa, maior fica o poder do teste.