Suponha que a variável aleatória W seja uniformemente distribuída no intervalo [0, Ω]. Uma amostra aleatória de tamanho 10 foi obtida e mostrou os seguintes resultados: 0,2; 1,0; 0,5; 1,3; 1,8; 2,0; 1,0; 0,7; 0,3 e 1,2. A estimativa de máxima verossimilhança de Ω é, então, igual a
- A)0,2.
Errada, porque 0,2 é o menor valor da amostra, e o MLE de Ω na uniforme é o maior valor observado.
- B)0,5.
Errada, porque 0,5 também não representa o limite superior da distribuição; só o maior dado pode cumprir esse papel.
- C)1,0.
Errada, porque 1,0 não é o maior valor da amostra e, portanto, não é a estimativa de máxima verossimilhança de Ω.
- D)1,5.
Errada, porque 1,5 nem aparece na amostra e ainda seria menor que o maior valor observado, 2,0.
- E)2,0.
Certa, porque o maior valor da amostra é 2,0, e na Uniforme [0, Ω] o MLE de Ω é exatamente o máximo amostral.
Gabarito: E
Quando a variável W segue uma distribuição Uniforme em [0, Ω], todos os valores nesse intervalo têm a mesma chance de ocorrer. O detalhe importante aqui é que, para esse modelo, a função de verossimilhança “cobra” que Ω seja pelo menos o maior valor observado na amostra, porque nenhum dado pode ficar fora do intervalo permitido. Se Ω fosse menor que o máximo da amostra, a verossimilhança seria zero, e isso mata qualquer chance de ser estimador de máxima verossimilhança. Então, nesse caso, basta olhar a amostra e pegar o maior valor. Os dados foram 0,2; 1,0; 0,5; 1,3; 1,8; 2,0; 1,0; 0,7; 0,3 e 1,2. O maior deles é 2,0. Logo, a estimativa de máxima verossimilhança de Ω é 2,0. É aquele tipo de questão em que a conta é curta, mas a ideia é crucial: em Uniforme [0, Ω], o MLE de Ω é a estatística de ordem máxima, isto é, o maior valor amostral.