Considere a seguinte sequência de 2001 valores: x1=-1000, x2=-999, ..., x1001=0, x1002=1, ..., x2001=1000. A covariância amostral entre essa sequência e a sequência de seus valores ao quadrado (yi = xi 2 ) é:
- A)1;
Errada: 1 nao aparece aqui, porque a soma dos produtos x_i·x_i^2 se anula pela simetria da sequencia.
- B)2001;
Errada: 2001 e o numero de termos, nao o valor da covariancia amostral.
- C)1001;
Errada: 1001 e apenas o termo central da sequencia, onde x=0, mas isso nao determina a covariancia.
- D)0;
Certa: a simetria em torno de zero faz a soma de x_i^3 ser zero, logo a covariancia amostral tambem e zero.
- E)-1.
Errada: o sinal nao pode ser negativo, porque os termos positivos e negativos de x^3 se cancelam exatamente.
Gabarito: D
A covariancia amostral mede como duas variaveis andam juntas. Na pratica, ela olha para os desvios em relacao as medias: se uma sobe quando a outra sobe, tende a ser positiva; se uma sobe quando a outra desce, tende a ser negativa. Quando nao ha tendencia nenhuma, ela fica em torno de zero. Aqui, a sequencia x vai de -1000 ate 1000, de forma perfeitamente simetrica. Isso faz a media de x ser 0. Ja y_i = x_i^2 sempre e nao negativo, mas o detalhe decisivo e o produto x_i * y_i = x_i^3. Como os termos sao simetricos, para cada valor positivo k existe o valor -k. E, como (-k)^3 = -k^3, os termos se cancelam aos pares na soma. Logo, a soma de x_i^3 e zero. Como a media de x tambem e zero, a covariancia amostral entre x e x^2 resulta em 0. Em resumo: a relacao entre x e x^2 nao e linear, e a simetria da sequencia mata a covariancia. Por isso o gabarito e a alternativa D.